Здравствуйте, pampararamm!
Интегральная формула Коши имеет вид
где
[$915$] - замкнутый контур на комплексной плоскости, точка
z[sub]0[/sub] лежит внутри контура, и
f(z) - аналитическая функция комплексного переменного
z, определённая и дифференцируемая внутри контура. Она позволяет вычислить интеграл вида
если функция
f(z) - аналитическая в круге
{z: |z-z[sub]0[/sub]|[$8804$]R}.
Из этой формулы есть много следствий, например,
позволяет вычислить интеграл вида
Интеграл
найдём непосредственно с помощью формулы Коши. В данном случае контуром
[$915$] будет окружность радиуса 1 с центром в точке
z = 0, которую и примем в качестве
z[sub]0[/sub], тогда
f(z) = (2+sin z)/(z+2i) - аналитическая функция, определённая и дифференцируемая в круге
{z: |z|[$8804$]1}, и для неё
откуда
Интеграл
вычислим, используя следствие из формулы Коши. Контур
[$915$] - окружность радиуса 2 с центром в точке
z[sub]0[/sub] = 0, функция
f(z) = sin z[sup]3[/sup] - аналитическая, определённая и дифференцируемая в круге
{z: |z|[$8804$]2}, и для неё
откуда
Так как
то
и