Здравствуйте, kabanov.anton2010!
Для функции
имеем:
1) Область определения функции - вся числовая прямая, кроме точек
x=[$8730$]3 и
x=-[$8730$]3, в которых знаменатель дроби обращается в ноль, следовательно, имеет место разрыв второго рода.
2) Так как
функция является нечётной.
3) Не существует такого
T, что
y(x+T) = y(x), поэтому функция - непериодическая.
4) В точках разрыва
то есть
x=[$177$][$8730$]3 - вертикальные асимптоты.
5) Так как
и
то
y = kx+b = -x - наклонная асимптота (а горизонтальных асимптот нет).
6) Так как
y(0) = 0, то график функции пересекается с осью
Oy в точке
(0, 0). Так как из
следует
то график функции пересекается с осью
Ox также в точке
(0, 0). Учитывая результаты, полученные в 4), это означает, что функция отрицательна на интервалах
(-[$8730$]3, 0),
([$8730$]3, +[$8734$]) и положительна на всех остальных -
(-[$8734$], -[$8730$]3) и
(0, [$8730$]3).
7) Найдём первую и вторую производные:
и определим их значения (с точностью до знака):
Здесь стрелками обозначены интервалы возрастания/убывания функции, знаки
[$8745$]/
[$8746$] указывают на выпуклость/вогнутость графика. Таким образом, функция возрастает при
-3 < x < 3 (
y' > 0), убывает при
x < -3 и
x > 3 (
y' < 0),
x = 3 - точка локального максимума (
y' = 0 и
y" < 0),
x = -3 - точка локального минимума (
y' = 0 и
y" > 0); функция вогнута при
x < -[$8730$]3 и при
0 < x < [$8730$]3 (
y" > 0), выпукла при
-[$8730$]3 < x < 0 и при
x > [$8730$]3 (
y" < 0); точка
x = 0 (
y' = y" = 0) является особой.
График функции: