Здравствуйте, Alexander!
Векторы
a,
b,
c образуют базис в том, и только в том случае, если они линейно независимы, то есть их линейная комбинация [$945$]
a + [$946$]
b + [$947$]
c равна 0 только при
[$945$]=[$946$]=[$947$]=0. Другими словами, векторы
a = {x
a, y
a, z
a},
b = {x
b, y
b, z
c} и
c = {x
c, y
c, z
c} образуют базис, если линейная однородная система уравнений
имеет единственное решение
[$945$]=[$946$]=[$947$]=0. Это, в свою очередь возможно только если определитель системы
отличен от нуля (в противном случае система имеет бесконечно много решений).
В данном случае соответствующий определитель (составленный из координат векторов) равен
то есть векторы
a,
b,
c действительно образуют базис.
Координаты вектора
d = {x
d, y
d, z
d} в этом базисе можно найти, решив соответствующую неоднородную систему
которая в данном случае имеет вид
Решение системы можно найти, например, методом Крамера, вычислив соответствующие определители:
то есть
d = 2
a+3
b+
c.