Здравствуйте, lyskov.kirill!

Частное решение неоднородного линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами, правая часть которого имеет вид

где P[sub]n[/sub](x), Q[sub]n[/sub](x) - многочлены степени n, и число [$945$]+i[$946$] является корнем соответствующего характеристического уравнения кратности k (k = 0, если число не является корнем), ищется в виде

где U[sub]n[/sub](x), V[sub]n[/sub](x) - также многочлены степени n (константы при n = 0). Если правая часть состоит из нескольких слагаемых указанного вида, то частное решение будет суммой соответствующих выражений.
В данном случае соответствующее характеристическое уравнение k[sup]2[/sup] + 6k + 9 = 0 имеет корень k = -3 кратности 2, и частное решение определяется правой частью f(x) = e[sup]2x[/sup] - sin 3x. Для первого слагаемого [$945$] = 2, [$946$] = 0, U(x) = 1, V(x) = 0 и число 2 не является корнем характеристического уравнения, поэтому соответствующее частное решение будет Ce[sup]2x[/sup]. Для второго слагаемого [$945$] = 0, [$946$] = -3, U(x) = 0, V(x) = 1 и число -3i не является корнем характеристического уравнения, поэтому соответствующее частное решение имеет вид A cos 3x + B sin 3x. Суммарным частным решением будет y = Ce[sup]2x[/sup] + A cos 3x + B sin 3x.