Лидеры рейтинга

ID: 226425

Konstantin Shvetski

Мастер-Эксперт

941

Россия, Северодвинск


ID: 259041

Алексеев Владимир Николаевич

Мастер-Эксперт

570

Россия, пос. Теплоозёрск, ЕАО


ID: 401284

Михаил Александров

Академик

351

Россия, Санкт-Петербург


ID: 137394

Megaloman

Мастер-Эксперт

309

Беларусь, Гомель


ID: 400669

epimkin

Профессионал

272


ID: 400484

solowey

Профессор

95


ID: 401888

puporev

Профессор

52

Россия, Пермский край


8.1.6

02.01.2021

JS: 2.2.2
CSS: 4.2.0
jQuery: 3.5.1


 

Консультации и решение задач по алгебре, геометрии, анализу, дискретной математике.

Администратор раздела: Коцюрбенко Алексей Владимирович (Старший модератор)


Коцюрбенко Алексей Владимирович
Статус: Старший модератор
Рейтинг: 2110
Konstantin Shvetski
Статус: Мастер-Эксперт
Рейтинг: 941
Михаил Александров
Статус: Академик
Рейтинг: 351
 

Перейти к консультации №:
 

Консультация онлайн # 199783
Раздел: • Математика
Автор вопроса: Кириллова Анна Витальевна (9-й класс)
Дата: 05.12.2020, 19:23
Поступило ответов: 1

Здравствуйте! Прошу помощи в следующем вопросе:

Найти сторону основания a и боковое ребро b правильной шестиугольной
пирамиды вписанной в сферу единичного радиуса и имеющей среди всех
таких пирамид наибольшую боковую поверхность.

Состояние: Консультация закрыта

Здравствуйте, Анна Витальевна!
Дана правильная 6-угольная пирамида, вписанная в сферу радиусом R = 1.
Вычислить сторону основания "a" и боковое ребро "b" при наибольшей боковой поверхности пирамиды.

Решение : Я начертил пирамиду, вписанную в сферу для наилучшего представления связей всех элементов пирамиды и сферы. Рисунок прилагаю ниже.

Аннотирую статью из школьной геометрии "Правильная пирамида" Ссылка : Основание правильной 6-угольной пирамиды - правильный 6-угольник.
Все стороны и углы основания равны м-ду собой.
Все рёбра и двугранные углы пирамиды также равны м-ду собой.
Треугольники, образующие боковые стороны одинаковы, соответственно, у них одинаковые площади, стороны и высоты.
Вершина пирамиды проектируется в точку пересечения диагоналей основания 6-угольника.
ME = h - апофема,
Площадь боковой поверхности правильной пирамиды :
Sб = (1/2)·Pосн·h , где Pосн - периметр основания, h - апофема.


Добавим к этому, что основание пирамиды состоит из 6 равно-сторонних треугольников со стороной "a". Значит, радиус основания равен AO = PQ = a .

Искать наибольшую боковую поверхности пирамиды, мне думается, проще всего в зависимости от высоты CO = z м-ду центрами сферы и основания.
В прямоугольном треугольнике AOC известна единичная гипотенуза AC = CM = 1
Тогда a = AO = √(AC2 - CO2) = √(1 - z2)
Высота OE треугольника POQ равна √(a2 - (a/2)2)
Дальнейшие вычисления я сделал в приложении Маткад (ссылка) . Маткад-скриншот прилагаю. Я добавил в него подробные комментарии зелёным цветом.

Ответ : a = 0,93 ; b = 1,42 .
Проверочные вычисления показали, что при z = 0,372 боковая поверхность пирамиды имеет наибольшую площадь 4,43 ед площади.


Консультировал: Алексеев Владимир Николаевич (Мастер-Эксперт)
Дата отправки: 06.12.2020, 16:12

Рейтинг ответа:

+1

[подробно]

Сообщение
модераторам

Отправлять сообщения
модераторам могут
только участники портала.
ВОЙТИ НА ПОРТАЛ »
регистрация »

Возможность оставлять сообщения в мини-форумах консультаций доступна только после входа в систему.
Воспользуйтесь кнопкой входа вверху страницы, если Вы зарегистрированы или пройдите простую процедуру регистрации на Портале.