Здравствуйте, Ukoz!
Условие: радиус окружности R = 1 м ; модуль угловой скорости [$969$] = A·(t/[$964$])
6 ; A = 6·10
7 1/с ; [$964$] = 1 с .
Через сколько секунд угол между полным ускорением частицы и её скоростью будет равен 45°?
Решение : Задача сначала кажется сложной, если игнорировать значение "45°". Потому что если бы вместо угла в 45° было задано 44 или 46°, то пришлось бы делать громоздкие вычисления координат векторов. Но угол 45° - особенный - это угол м-ду стороной и диагональю квадрата. Ищем "Пифагоровы штаны", которые как известно "на все стороны равны". И находим:
Оказывается, направление вектора скорости частицы совпадает с направлением тангенциального ускорения, они оба направлены по касательной к окружности-траектории. Нормальное (центростремительное) ускорение направлено к центру окружности. Значит, тангенциальное и нормальное ускорения - взаимо-перпендикулярны. А полное ускорение "a" - это геометрическая сумма тангенциального и нормального ускорений :
a = [$8730$](a
[$964$]2 + a
n^2)
Следовательно, "
угол между полным ускорением частицы и её скоростью будет равен 45°" в тот момент, когда векторы тангенциального и нормального ускорений сравняются по модулю, то есть, образуют квадрат.
Я начертил векторы скорости и ускорений. Рисунок и вычисления в приложении
Маткад (ссылка) прилагаю ниже. Я добавил в скриншот подробные комментарии зелёным цветом.
Подставим заданные числовые значения в формулу модуля угловой скорости:
[$969$] = 6·10
7·t
6Модуль линейной скорости равен произведению угловой скорости на радиус кривизны траектории (окружности);
V = [$969$]·R
Тангенциальное ускорение - это производная линейной скорости по времени a
[$964$] = V'
Модуль вектора центростремительного (нормального) ускорения равен произведению модуля линейной скорости на угловую скорость:
a
n = V·[$969$]
Осталось приравнять выражения модулей тангенциального и нормального ускорений и решить уравнение. Это уравнение имеет 2 корня в действительных числах : t0 = 0 и t1 = 0,1 с .
Нулевой корень отбрасываем, как неудовлетворяющий запросу Условия "
Через сколько секунд угол…".
Ответ : угол между полным ускорением частицы и её скоростью будет равен 45° через время 0,1 сек.
Правильный вариант ответа: г) 0,1 .