Здравствуйте, Дмитрий!

1) Функция - дробно-рациональная, причём знаменатель дроби нигде не обращается в ноль, следовательно, функция определена и непрерывна на всей числовой прямой.

2) Так как

то функция является нечётной.

3) Не существует такого T, что y(x+T) = y(x), поэтому функция - непериодическая.

4) Точек разрыва нет, поэтому вертикальные асимптоты отсутствуют.

5) Так как

и

то y = kx + b = 0 - горизонтальная асимптота (а наклонных асимптот нет).

6) Так как y(0) = 0, то график функции пересекается с осью Oy в точке (0, 0). Так как из

следует x = 0, то график функции пересекается с осью Ox также в точке (0, 0). Других точек пересечения нет, следовательно, функция положительна при x < 0 и отрицательна при x > 0.

7) Найдём первую и вторую производные:


и определим их значения (с точностью до знака):

(стрелками обозначены интервалы возрастания/убывания функции, знаки [$8745$]/[$8746$]/[$967$] указывают на выпуклость/вогнутость/перегиб). Таким образом, функция возрастает при x < -2 и x > 2 (y' > 0), убывает при -2 < x < 2 (y' < 0), x = -2 - точка локального максимума (y' = 0 и y" < 0), x = 2 - точка локального минимума (y' = 0 и y" > 0); функция вогнута при x < -2[$8730$]3 и при 0 < x < 2[$8730$]3 (y" > 0), выпукла при -2[$8730$]3 < x < 0 и при x > 2[$8730$]3 (y" < 0), x = [$177$]2[$8730$]3 и x = 0 - точки перегиба (y" = 0).
График функции: