Здравствуйте, lyskov.kirill!
Частное решение неоднородного линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами, правая часть которого имеет вид
где
P[sub]n[/sub](x),
Q[sub]n[/sub](x) - многочлены степени
n, и число
[$945$]+i[$946$] является корнем соответствующего характеристического уравнения кратности
k (
k = 0, если число не является корнем), ищется в виде
где
U[sub]n[/sub](x),
V[sub]n[/sub](x) - также многочлены степени
n (константы при
n = 0). Если правая часть состоит из нескольких слагаемых указанного вида, то частное решение будет суммой соответствующих выражений.
В данном случае соответствующее характеристическое уравнение
k[sup]2[/sup] + 6k + 9 = 0 имеет корень
k = -3 кратности 2, и частное решение определяется правой частью:
1)
[$945$] = [$946$] = 0,
U(x) = 2x-1,
V(x) = 0 и число
0 не является корнем характеристического уравнения, частное решение имеет вид
y = Ax+B;
2)
[$945$] = 3,
[$946$] = 0,
U(x) = x,
V(x) = 0 и число
3 не является корнем характеристического уравнения, частное решение имеет вид
y = e[sup]3x[/sup](Ax+B);
3)
[$945$] = 2,
[$946$] = 0,
U(x) = 1,
V(x) = 0 и число
2 не является корнем характеристического уравнения, частное решение имеет вид
y = Ce[sup]3x[/sup];
4)
[$945$] = -3,
[$946$] = 0,
U(x) = 1,
V(x) = 0 и число
-3 является корнем характеристического уравнения (кратности 2), частное решение имеет вид
y = Cx[sup]2[/sup]e[sup]3x[/sup];
5) для первого слагаемого соответствующее частное решение будет
Ce[sup]2x[/sup] (как в п.3), для второго
[$945$] = 0,
[$946$] = -3,
U(x) = 0,
V(x) = 1 и число
-3i не является корнем характеристического уравнения, соответствующее частное решение имеет вид
-B sin 3x, суммарным частным решением будет
y = Ce[sup]2x[/sup] - B sin 3x.