Лидеры рейтинга

ID: 226425

Konstantin Shvetski

Мастер-Эксперт

1036

Россия, Северодвинск


ID: 259041

Алексеев Владимир Николаевич

Мастер-Эксперт

658

Россия, пос. Теплоозёрск, ЕАО


ID: 400669

epimkin

Профессионал

367


ID: 401284

Михаил Александров

Академик

354

Россия, Санкт-Петербург


ID: 137394

Megaloman

Мастер-Эксперт

259

Беларусь, Гомель


ID: 400484

solowey

Профессор

96


ID: 401888

puporev

Профессор

53

Россия, Пермский край


8.1.6

02.01.2021

JS: 2.2.2
CSS: 4.2.0
jQuery: 3.5.1


 

Консультации и решение задач по алгебре, геометрии, анализу, дискретной математике.

Администратор раздела: Коцюрбенко Алексей Владимирович (Старший модератор)


Коцюрбенко Алексей Владимирович
Статус: Старший модератор
Рейтинг: 2220
Konstantin Shvetski
Статус: Мастер-Эксперт
Рейтинг: 1036
epimkin
Статус: Профессионал
Рейтинг: 367
 

Перейти к консультации №:
 

Консультация онлайн # 199557
Раздел: • Математика
Автор вопроса: iranisimova36@gmail.com (Посетитель)
Дата: 07.11.2020, 20:09
Поступило ответов: 1

Здравствуйте! У меня возникли сложности с таким вопросом:

Найти объем тела, заданного ограничивающими его поверхностями. При вычислении перейти к полярным координатам
z=√(x2+y2)
z=0
x2+y2=R2

Состояние: Консультация закрыта

Здравствуйте, iranisimova36@gmail.com!
Даны ограничивающие поверхности : x2 + y2 = R2 ; z1 = 0 ; z2 = √(x2 + y2) .
Перейти к полярным координатам и вычислить объём тела м-ду указанными поверхностями.

Решение : Связь объём тела с полярнымы координатами хорошо описана в учебной статье "Тройные интегралы. Вычисление объёма тела. Тройной интеграл в цилиндрических координатах" Ссылка . Цитирую : "Цилиндрические координаты - это, по сути, полярные координаты в пространстве. В цилиндрической системе координат положение точки M пространства определяется полярными координатами φ и r точки M' - проекции точки M на плоскость XOY и аппликатой z самой точки M .
Переход от трёхмерной декартовой системы к цилиндрической системе координат осуществляется по следующим формулам:
x = r·cos(φ) ; y = r·sin(φ)
z = z (аппликата остаётся неизменной)
"

Применительно к нашей задаче преобразование выглядит следующим образом:
V = v∫∫∫ f(x;y;z)·dx·dy·dz ==> v∫∫∫ f(r·cos(φ);r·sin(φ);z)·r·dr·dφ·dz

Заменяем декартовы уравнения заданных поверхностей на цилиндрические:
x2 + y2 = R2
[r·cos(φ)]2 + [r·sin(φ)]2 = R2
r2·[cos2(φ) + sin2(φ)] = R2
r2·1 = R2
r = R - боковая поверхность цилиндра.

z1 = 0 ==> z1 = 0 - дно цилиндра.

z2 = √(x2 + y2)
z2 = √{[r·cos(φ)]2 + [r·sin(φ)]2}
z2 = √(r2)
z2 = r - верхняя поверхность коронки.

Чертим график. Заданное тело представляет собой коронку, полученную из цилиндра с высверленным сверху конусом.
Чтоб Вам легче было представить его : на плоскости xOy (z1 = 0 ; на столе) стоит цилиндр (пенёк) радиусом R и высотой H = R . В этом пеньке сверху высверлили коническое дупло до самого дна. Чертёж и вычисления прилагаю ниже.

Ответ : Объём тела равен 2·π ·R3 / 3 ед3.
Переходить из цилиндрических координат к полностью полярным координатам имеет смысл в решениях задач со сферическими поверхностями (куполами). В текущей задаче вертикальные ограничивающие поверхности (z1 = 0 и z2(r) = r ) не имеют никакой зависимости от зенитного угла. Поэтому добавление полярно-зенитного угла в решение бессмысленно и усложнят процесс.


Консультировал: Алексеев Владимир Николаевич (Мастер-Эксперт)
Дата отправки: 12.11.2020, 13:51

5
нет комментария
-----
Дата оценки: 12.11.2020, 14:41

Рейтинг ответа:

+4

[подробно]

Сообщение
модераторам

Отправлять сообщения
модераторам могут
только участники портала.
ВОЙТИ НА ПОРТАЛ »
регистрация »

Мини-форум консультации № 199557

Алексеев Владимир Николаевич

Мастер-Эксперт

ID: 259041

1

 +1 
 
= общий = |  12.11.2020, 12:01 |  цитировать |  профиль |  личное сообщение
iranisimova36@gmail.com:

Я уже решил Вашу задачу. Ч-з пару часов проверю всё и отправлю Вам решение-ответ.

iranisimova36@gmail.com

Посетитель

ID: 404403

2

 +1 
 
= общий = |  12.11.2020, 14:41 |  цитировать |  профиль |  личное сообщение
Алексеев Владимир Николаевич:

Большое спасибо smile

Алексеев Владимир Николаевич

Мастер-Эксперт

ID: 259041

3

= общий = |  12.11.2020, 14:49 |  цитировать |  профиль |  личное сообщение
iranisimova36@gmail.com:

Наздоровье Вам!

Возможность оставлять сообщения в мини-форумах консультаций доступна только после входа в систему.
Воспользуйтесь кнопкой входа вверху страницы, если Вы зарегистрированы или пройдите простую процедуру регистрации на Портале.