Здравствуйте, iranisimova36@gmail.com!
Даны ограничивающие поверхности : x² + y² = R² ; z1 = 0 ; z2 = [$8730$](x² + y²) .
Перейти к полярным координатам и вычислить объём тела м-ду указанными поверхностями.

Решение : Связь объём тела с полярнымы координатами хорошо описана в учебной статье "Тройные интегралы. Вычисление объёма тела. Тройной интеграл в цилиндрических координатах" Ссылка . Цитирую : "Цилиндрические координаты - это, по сути, полярные координаты в пространстве. В цилиндрической системе координат положение точки M пространства определяется полярными координатами [$966$] и r точки M' - проекции точки M на плоскость XOY и аппликатой z самой точки M .
Переход от трёхмерной декартовой системы к цилиндрической системе координат осуществляется по следующим формулам:
x = r·cos([$966$]) ; y = r·sin([$966$])
z = z (аппликата остаётся неизменной)"

Применительно к нашей задаче преобразование выглядит следующим образом:
V = _v[$8747$][$8747$][$8747$] f(x;y;z)·dx·dy·dz ==> _v[$8747$][$8747$][$8747$] f(r·cos([$966$]);r·sin([$966$]);z)·r·dr·d[$966$]·dz

Заменяем декартовы уравнения заданных поверхностей на цилиндрические:
x² + y² = R²
[r·cos([$966$])]² + [r·sin([$966$])]² = R²
r²·[cos²([$966$]) + sin²([$966$])] = R²
r²·1 = R²
r = R - боковая поверхность цилиндра.

z1 = 0 ==> z1 = 0 - дно цилиндра.

z2 = [$8730$](x² + y²)
z2 = [$8730$]{[r·cos([$966$])]² + [r·sin([$966$])]²}
z2 = [$8730$](r²)
z2 = r - верхняя поверхность коронки.

Чертим график. Заданное тело представляет собой коронку, полученную из цилиндра с высверленным сверху конусом.
Чтоб Вам легче было представить его : на плоскости xOy (z1 = 0 ; на столе) стоит цилиндр (пенёк) радиусом R и высотой H = R . В этом пеньке сверху высверлили коническое дупло до самого дна. Чертёж и вычисления прилагаю ниже.

Ответ : Объём тела равен 2·[$960$] ·R³ / 3 ед³.
Переходить из цилиндрических координат к полностью полярным координатам имеет смысл в решениях задач со сферическими поверхностями (куполами). В текущей задаче вертикальные ограничивающие поверхности (z1 = 0 и z2(r) = r ) не имеют никакой зависимости от зенитного угла. Поэтому добавление полярно-зенитного угла в решение бессмысленно и усложнят процесс.