Здравствуйте, svrvsvrv!
Дана функция y(x) = (x³ + 1) / sin[(1 + 2·x)⁶ - 1]
Вычислить предел Lim_x[$8594$]-1 y(x) , используя эквивалентные бесконечно малые функции.

Решение : Вычислитель Маткад (ссылка) выдал готовое решение Lim y(x) = -1/4 за 1 секунду.
Однако, поскольку задано "Вычислить предел … используя эквивалентные бесконечно малые функции", читаем учебную статью "Бесконечно малые функции. Замечательные эквивалентности в пределах" Ссылка2

При попытке вычислить предел простой подстановкой значения x = -1 получаем неопределённость вида 0/0 .
Используем правило эквивалентности "Если [$945$] [$8594$] 0 , то sin([$945$]) ~ [$945$]" .
В нашей задаче знаменатель есть бесконечно малая величина в окрестности x = -1 . Поэтому замена sin([$945$]) [$8594$] [$945$] допустима.
Заменяем знаменатель sin[(1 + 2·x)⁶ - 1] на (1 + 2·x)⁶ - 1

Снова пытаемся вычислить предел простой подстановкой значения x = -1 , и снова получаем неопределённость вида 0/0 .
Разлагаем числитель и знаменатель на множители:
x³ + 1 = (x+1)·(x² - x + 1)
(1 + 2·x)⁶ - 1 = 4·x·(x+1)·(4·x² + 2x + 1)·(4·x² + 6x + 3)

Сокращаем числитель и знаменатель на множитель (x+1)
Вычисляем предел подстановкой значения x = -1 . Получаем в числителе x² - x + 1 = 3
В знаменателе 4·x·(4·x² + 2x + 1)·(4·x² + 6x + 3) = -12
Ответ : Искомый предел равен 3 / (-12) = -1/4