Лидеры рейтинга

ID: 259041

Алексеев Владимир Николаевич

Мастер-Эксперт

1768

Россия, пос. Теплоозёрск, ЕАО


ID: 400669

epimkin

Профессионал

689


ID: 226425

Konstantin Shvetski

Мастер-Эксперт

568

Россия, Северодвинск


ID: 400828

mklokov

10-й класс

271

Россия, Санкт-Петербург


ID: 404373

aDair

1-й класс

166


ID: 137394

Megaloman

Мастер-Эксперт

159

Беларусь, Гомель


ID: 400484

solowey

Профессор

123


8.1.0

30.11.2020

JS: 2.1.8
CSS: 4.1.7
jQuery: 3.5.1


 

Консультации и решение задач по алгебре, геометрии, анализу, дискретной математике.

Администратор раздела: Коцюрбенко Алексей Владимирович (Старший модератор)


Коцюрбенко Алексей Владимирович
Статус: Старший модератор
Рейтинг: 2176
Алексеев Владимир Николаевич
Статус: Мастер-Эксперт
Рейтинг: 1768
epimkin
Статус: Профессионал
Рейтинг: 689
 

Перейти к консультации №:
 

Консультация онлайн # 199348
Раздел: • Математика
Автор вопроса: Dan2206 (Посетитель)
Дата: 18.10.2020, 14:56
Поступило ответов: 1

Здравствуйте! Прошу помощи в следующем вопросе:

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение имеет ровно два решения.
sqrt(x)+sqrt(3-x)=2*a

Состояние: Консультация закрыта

Здравствуйте, Dan2206!
Дано уравнение √(x) + √(3-x) = 2·a с параметром "a" .
Надо найти все значения параметра "a", при каждом из которых уравнение имеет ровно 2 решения.

Решение: сначала традиционно избавляемся от заморочных радикалов. Для этого возводим обе части уравнения в квадрат и получаем
x + (3-x) + 2·√(3·x - x2) = 4·a2     (1)
2·√(3·x - x2) = 4·a2 - 3     (2)
- уже лучше. Квадратуем повторно:
3·x - x2 = (2·a2 - 3/2)2
x2 - 3·x + 4·a4 - 6a2 + 9/4 = 0     (3)

В проделанных операциях многие "чайники" теряют ограничения ОДЗ (Области Допустимых Значений). Но мы с Вами - люди ответственные и хорошо знаем традиции нашей отсталой системы образования: Если в Условии задачи не разрешено использование комплексных чисел, значит оно неявно запрещено, и мы обязаны по-умолчанию угождать преподавателям и догадываться, что нам можно работать только с действительными числами.
(Мой любимый вычислитель Маткад (ссылка) написан в цивилизованной стране, и поэтому он невозмутимо обрабатывает корни с отрицательными аргументами, тк он не обязан угождать пережиткам СНГ-мин-образования).
Записываем ОДЗ-ограничения для страховки :
x >= 0 ; 3 - x >= 0 . То есть 0 <= x <= 3

Для уравнения (3) вычисляем Дискриминант
D = 32 - 4·1·4·(a4 - 6a2 + 9/4) = 24·a2 - 16·a4
Кто забыл, что такое Дискриминант, читаем какой-нибудь справочник по школьной математике, например "Горячие формулы школьного курса математики" Ссылка2 (его можно выбрать также на странице Ссылка3 )
В выше-указанной статье пояснение : Если D > 0, то уравнение имеет 2 действительных корня…
2) Если D = 0, то уравнение имеет 2 совпавших действительных корня (то есть 1 корень)…
3) Если D < 0, то уравнение имеет 2 сопряжённых комплексных корня.

Таким образом, чтоб удовлетворить Условие "уравнение имеет ровно 2 решения", нам осталось решить простое неравенство:
D = 24·a2 - 16·a4 > 0
Оно решается двузначно : a ≠ 0 ; 24 > 16·a2
0 < |a| < √(3/2)

Ответ : уравнение имеет ровно 2 решения когда значение параметра "a" находится в интервале a = (-1,225 ; 0) ∪ (0 ; 1,225)
При этом корни : x1 = 3/2 + a·√(6 - 4·a2) ; x2 = 3/2 - a·√(6 - 4·a2)
При a=0 или a ±√(3/2) уравнение имеет т-ко 1 решение x = 1,5
При прочих значениях параметра "a" уравнение имеет 2 сопряжённых комплексных корня (вне ОДЗ).

Корректировать Ответ выше-выявленными ОДЗ-ограничениями не пришлось на сей раз (нам повезло).
Проверка сделана в приложении Маткад вычислениями x-корней при разных пробных значениях параметра "a". МаткадСкриншот прилагаю.


Консультировал: Алексеев Владимир Николаевич (Мастер-Эксперт)
Дата отправки: 21.10.2020, 11:22

5
Большое спасибо! Приятно, что существуют люди, готовые помочь.
-----
Дата оценки: 21.10.2020, 11:41

Рейтинг ответа:

+2

[подробно]

Сообщение
модераторам

Отправлять сообщения
модераторам могут
только участники портала.
ВОЙТИ НА ПОРТАЛ »
регистрация »

Мини-форум консультации № 199348

Алексеев Владимир Николаевич

Мастер-Эксперт

ID: 259041

1

= общий = |  20.10.2020, 13:18 |  цитировать |  профиль |  личное сообщение
Dan2206:

Очередь дошла до Вашей задачи.
Но может, Вы уже решили её?

Dan2206

Посетитель

ID: 403620

2

 +1 
 
= общий = |  20.10.2020, 18:09 |  цитировать |  профиль |  личное сообщение
Алексеев Владимир Николаевич:

Решил графически. Пытался аналитически, но не смог. Буду благодарен, если Вы покажете аналитическое решение.

Алексеев Владимир Николаевич

Мастер-Эксперт

ID: 259041

3

= общий = |  21.10.2020, 12:08 |  цитировать |  профиль |  личное сообщение
Dan2206:

Наздоровье! Но мой ответ неточный! Точку a=0 надо "выколоть" из диапазона решения.
Щас я исправлю Ответ.

Алексеев Владимир Николаевич

Мастер-Эксперт

ID: 259041

4

 +1 
 
= общий = |  21.10.2020, 12:17 |  цитировать |  профиль |  личное сообщение
Dan2206:

Я подправил Ответ. Прошу извинить меня за допущеную неточность. Устал я с этой задачей и вёрсткой Ответа.

Возможность оставлять сообщения в мини-форумах консультаций доступна только после входа в систему.
Воспользуйтесь кнопкой входа вверху страницы, если Вы зарегистрированы или пройдите простую процедуру регистрации на Портале.