Здравствуйте, Be|_Ena!
В общем случае необходимое и достаточное условие существования экстремума (максимума или минимума) функции двух переменных
z(x, y) в некоторой точке имеет вид:
При этом, если производные
положительны, это будет точка минимума, а если отрицательны - точка максимума.
Для функции
z = x[sup]3[/sup] + y[sup]3[/sup] + 6xy имеем
Из условия равенства нулю первых производных
определяем множество так называемых стационарных точек (в которых может быть максимум или минимум функции). Оно состоит из двух точек -
(0, 0) и
(-2, -2). Значение выражения
для этих точек будет равно соответственно
-36 и
96, то есть
(-2, -2) - точка локального экстремума
z = 8 (максимума, с учётом отрицательности вторых производных в этой точке), а
(0, 0) не является точкой экстремума.
Осталось проанализировать границы области
ABCD, то есть прямые
x = -3,
x = 1 при
-3[$8804$]y[$8804$]-2 и прямые
y = -3,
y = -2 при
-3[$8804$]x[$8804$]1. Подставляя соответствующие значения в выражение для
z, получаем функцию одной переменной (
x или
y) и находим её экстремум стандартным способом:
а)
x = -3,
z = y[sup]3[/sup] - 18y - 27,
z' = 3y[sup]2[/sup] - 18,
z" = 6y, условию
z' = 0 соответствуют точки
y = [$177$][$8730$]6, из которых только точка
(-3, -[$8730$]6) принадлежит отрезку
AB и является точкой локального максимума
z = 12[$8730$]6 - 27 (в ней
z"< 0);
б)
x = 1,
z = y[sup]3[/sup] + 6y + 1,
z' = 3y[sup]2[/sup] + 6,
z" = 6y, условию
z' = 0 не соответствует никакая точка, то есть локальных экстремумов на отрезке
CD нет;
в)
y = -3,
z = x[sup]3[/sup] - 18x - 27,
z' = 3x[sup]2[/sup] - 18,
z" = 6x, условию
z' = 0 соответствуют точки
x = [$177$][$8730$]6, из которых только точка
(-[$8730$]6, -3) принадлежит отрезку
AD и является точкой локального максимума
z = 12[$8730$]6 - 27 (в ней
z"< 0);
г)
y = -2,
z = x[sup]3[/sup] - 12x - 8,
z' = 3x[sup]2[/sup] - 12,
z" = 6x, условию
z' = 0 соответствуют точки
x = [$177$]2, из которых только точка
(-2, -2) принадлежит отрезку
BC и уже была определена как точка локального максимума.
Итак, имеем три точки локального экстремума:
z(-2, -2) = 8,
z(-3, -[$8730$]6) = z(-[$8730$]6, -3) = 12[$8730$]6 - 27, причём все три являются точками локального максимума. Также необходимо вычислить значения функции в точках
A,
B,
C и
D:
z(-3, -3) = 0,
z(-3, -2) = 1,
z(1, -2) = -25,
z(1, -3) = -44. С учётом этого, максимумом функции в области
ABCD будет
z(-2, -2) = 8, а минимумом -
z(1, -3) = -44.