Лидеры рейтинга

ID: 259041

Алексеев Владимир Николаевич

Мастер-Эксперт

1760

Россия, пос. Теплоозёрск, ЕАО


ID: 400669

epimkin

Профессионал

686


ID: 226425

Konstantin Shvetski

Мастер-Эксперт

565

Россия, Северодвинск


ID: 400828

mklokov

10-й класс

270

Россия, Санкт-Петербург


ID: 404373

aDair

1-й класс

165


ID: 137394

Megaloman

Мастер-Эксперт

158

Беларусь, Гомель


ID: 400484

solowey

Профессор

122


8.1.0

30.11.2020

JS: 2.1.8
CSS: 4.1.7
jQuery: 3.5.1


 

Консультации и решение задач по алгебре, геометрии, анализу, дискретной математике.

Администратор раздела: Коцюрбенко Алексей Владимирович (Старший модератор)


Коцюрбенко Алексей Владимирович
Статус: Старший модератор
Рейтинг: 2166
Алексеев Владимир Николаевич
Статус: Мастер-Эксперт
Рейтинг: 1760
epimkin
Статус: Профессионал
Рейтинг: 686
 

Перейти к консультации №:
 

Консультация онлайн # 198609
Раздел: • Математика
Автор вопроса: moonfox (Посетитель)
Дата: 17.05.2020, 23:12
Поступило ответов: 1

Здравствуйте! Прошу помощи в следующем вопросе:

Через инвариант привести к простейшему виду КВП 6xy + 8y^2 - 12x - 26y + 11 = 0

Заранее спасибо.

Состояние: Консультация закрыта

Здравствуйте, moonfox!

В общем случае кривая второго порядка имеет уравнение вида

коэффициенты которого изменяются при переходе к новой системе координат. Тем не менее, существуют значения, которые при повороте и параллельном переносе системы координат остаются неизменными (инвариантами). К ним относятся



В частности, для уравнения

в котором B' = D' = E' = 0, будут выполняться соотношения



Тогда, найдя значения инвариантов S, δ и Δ для исходного уравнения, можно будет решить систему

и найти коэффициенты уравнения простейшего вида. При этом координаты (x0, y0) нового начала координат являются решением системы линейных уравнений

а угол α поворота новой системы координат относительно старой определяется из соотношений

или

В данном случае для уравнения

имеем A = 0, B = 3, C = 8, D = -6, E = -13, F = 11, откуда инварианты будут равны



Решая систему уравнений

находим F' = -9, A' = -1, C' = 9, либо F' = -9, A' = 9, C' = -1, то есть кривая будет иметь уравнение

либо

Решение системы

даёт нам координаты начала новой системы координат: y0 = 2, x0 = -1, а из выражений

или

определяем угол поворота осей α = -arctg 1/3 = -18º или α = arctg 3 = 72º (это фактически один и тот же угол с разницей в 90º).
Из канонического вида найденных уравнений

или

видно, что кривая является гиперболой с полуосями 3 и 1, с центром в точке (-1, 2), повёрнутой относительно "обычного" положения примерно на -18º (или на 72º, в зависимости от выбора наименований осей в новой системе координат).


Консультировал: Коцюрбенко Алексей Владимирович (Старший модератор)
Дата отправки: 22.05.2020, 19:38

Рейтинг ответа:

0

[подробно]

Сообщение
модераторам

Отправлять сообщения
модераторам могут
только участники портала.
ВОЙТИ НА ПОРТАЛ »
регистрация »

Возможность оставлять сообщения в мини-форумах консультаций доступна только после входа в систему.
Воспользуйтесь кнопкой входа вверху страницы, если Вы зарегистрированы или пройдите простую процедуру регистрации на Портале.