Здравствуйте, moonfox!

В общем случае кривая второго порядка имеет уравнение вида

коэффициенты которого изменяются при переходе к новой системе координат. Тем не менее, существуют значения, которые при повороте и параллельном переносе системы координат остаются неизменными (инвариантами). К ним относятся



В частности, для уравнения

в котором B' = D' = E' = 0, будут выполняться соотношения



Тогда, найдя значения инвариантов S, [$948$] и [$916$] для исходного уравнения, можно будет решить систему

и найти коэффициенты уравнения простейшего вида. При этом координаты (x[sub]0[/sub], y[sub]0[/sub]) нового начала координат являются решением системы линейных уравнений

а угол [$945$] поворота новой системы координат относительно старой определяется из соотношений

или

В данном случае для уравнения

имеем A = 0, B = 3, C = 8, D = -6, E = -13, F = 11, откуда инварианты будут равны



Решая систему уравнений

находим F' = -9, A' = -1, C' = 9, либо F' = -9, A' = 9, C' = -1, то есть кривая будет иметь уравнение

либо

Решение системы

даёт нам координаты начала новой системы координат: y[sub]0[/sub] = 2, x[sub]0[/sub] = -1, а из выражений

или

определяем угол поворота осей [$945$] = -arctg 1/3 = -18[$186$] или [$945$] = arctg 3 = 72[$186$] (это фактически один и тот же угол с разницей в 90[$186$]).
Из канонического вида найденных уравнений

или

видно, что кривая является гиперболой с полуосями 3 и 1, с центром в точке (-1, 2), повёрнутой относительно "обычного" положения примерно на -18[$186$] (или на 72[$186$], в зависимости от выбора наименований осей в новой системе координат).