Здравствуйте, sqwerty!

Поток векторного поля

через ориентированную поверхность численно равен поверхностному интегралу 2-го рода по этой поверхности:

который можно свести к поверхностному интегралу 1-го рода по формуле:

где n[sub]0[/sub] - единичный нормальный вектор к поверхности, заданной функцией двух переменных, равен

(знак "+" берётся для верхней стороны поверхности, знак "-" - для нижней). В свою очередь, поверхностный интеграл 1-го рода для поверхности, заданной функцией двух переменных z(x,y), сводится к двойному по формуле:

где D - проекция поверхности S на координатную плоскость Oxy (для проекций на Oxz и Oyz используются аналогичные формулы). Следовательно,

В данном случае a = {x, xz, y}. Для поверхности S[sub]1[/sub]: z = 4-x[sup]2[/sup]-y[sup]2[/sup] имеем z[sub]x[/sub]' = -2x, z[sub]y[/sub]' = -2y и поток векторного поля через поверхность S[sub]1[/sub] составит

Для поверхности S[sub]2[/sub]: z = 0 z[sub]x[/sub]' = z[sub]y[/sub]' = 0 и поток векторного поля через поверхность S[sub]2[/sub] составит

Так как проекцией поверхностей S[sub]1[/sub] и S[sub]2[/sub] на плоскость Oxy будет круг D: x[sup]2[/sup]+y[sup]2[/sup][$8804$]4, то





(интеграл был вычислен с использованием замены y = 2 sin t, dy = 2 cos t dt, интервалу -2[$8804$]y[$8804$]2 соответствует -[$960$]/2[$8804$]t[$8804$][$960$]/2).

Согласно формуле Гаусса-Остроградского, поток вектора a через замкнутую поверхность S равен тройному интегралу от дивергенции этого вектора, взятому по объёму T, ограниченному поверхностью:

В данном случае

и поток вектора a равен

где область T ограничена эллиптическим параболоидом z = 4 - x[sup]2[/sup] - y[sup]2[/sup] и плоскостью z = 0. Интеграл проще всего вычислить с помощью перехода к цилиндрическим координатам по формулам x = r cos [$966$], y = r sin [$966$], z = z, dx dy dz = r dr d[$966$] dz. Для области T имеем 0[$8804$][$966$][$8804$]2[$960$], 0[$8804$]r[$8804$]2, 0[$8804$]z[$8804$]4-r[sup]2[/sup], и искомый интеграл будет равен