Здравствуйте, master87!
Дано: Функция f(x) , формулу прилагаю на ниже-картинке.
Найти неопределенный интеграл данной функции.


Решение : Поскольку интеграл - это сумма бесконечно-малых элементарных величин (полосочек, сегментиков, время-интервалов…), то и свойства интеграла такие же, как свойства суммы: Интеграл суммы/разности можно заменить суммой/разностью интегралов (находить их по очереди), Константу можно выносить за знак интеграла …
Используя эти свойства, разделим исходный интеграл на сумму простых, "табличных" интегралов.

Затем в любом Справочнике по высшей математике (например "Справочник по математике \ Интегралы" Ссылка ) ищем Таблицу интегралов и находим формулы, подходящие для текущей задачи:
[$8747$]xⁿ·dx = [1 / (n+1)]·x⁽ⁿ⁺¹⁾ + C1 , где n - любое число (в том числе дробное), не равное -1.
[$8747$](1/x)·dx = ln(x) + C2 , здесь должно x > 0 , C1, C2 - произвольные константы интегрирования.
Используя эти 2 формулы, получаем сначала первообразные слагаемых , а затем суммируем все первообразные с учётом их коэффициентов.
В качестве суммы произвольных констант вписываем некую общую произвольную константу Const .
Ответ : искомый интеграл равен 1,5·x^(2/3) - 0,4·x⁵ + 3·ln(x) + Const .

Полезно проверять взятые интегралы операцией обратного дифференцирования. Проверка успешна, поскольку в её результате получена исходная функция.