Здравствуйте, Mari!
Я не математик. Но поскольку профессионалы не пришли на Вашу страницу, рискну предложить свою помощь, как умею.
Дано : уравнение : 49^x + (2a² - a + 6)·7^x + 2a² + a - 6 =0 (1)
Найти все значения а, при каждом из которых уравнение имеет единственный корень.
Решение : заменяем 7^x = y
Пользуясь свойством степенных функций (aⁿ)^k = a^(n·k) , заменяем
49^x = (7²)^x = 7^(2·x) = (7^x)² = y²
Теперь можно решать гораздо более простое уравнение
y² + (2a² - a + 6)·y + 2a² + a - 6 =0 (2)
Однако заметим, что замена не полностью адекватна! Потому что при возвращении x = log(y,7) (логарифм "y" по основанию 7) область определения "y" будет ограничена положительными числами, и придётся отбраковать варианты решений y <= 0 !

Вычислитель-приложение Маткад возвратил 2 пары корней решения уравнения (2)
y₁ = -[$8730$]15 - 3 , a₁ = 0
и y₂ = +[$8730$]15 - 3 , a₂ = 0
МаткадСкриншот прилагаю.

При попытке задать принудительно другие значения "a" получить y-корни не удаётся.
Обе пары корней Маткад проверил успешно. В том числе и x-пары для исходного уравнения.

Однако, набор варианта N1 : a₁=0 , y₁=-[$8730$]15 - 3 , x₁ = 1+1,7j работает в комплексных числах и НЕ удовлетворяет области определения логарифм-аргумента.
Остаётся единственное решение : a₂=0 , y₂=+[$8730$]15 - 3 , x₂ = -0,07

Ответ : уравнение имеет единственный корень при a=0 .
Надеюсь, кто-то из математиков, сможет показать профессионально-математическое решение уравнений (без Маткада).

Поправка : выше я сообщил "При попытке задать принудительно другие значения "a" получить y-корни не удаётся" - я просто не угадал диапазон других значений. Правильный диапазон значений "a" указал в своём Ответе эксперт epimkin . Понять его супер-лаконичный Ответ я не могу (ума не хватает старому). Но я дал Маткаду проверить диапазон : всё точно! Результаты проверки прилагаю в виде матриц с парами y-решений, полученных при разных значениях a .

Из этих пар надо отбраковать y-значения <= 0 , как недопустимые для логарифмирования получить x . Положительные y-значения есть только в диапазоне a=(-2 ; 3/2)
epimkin - настоящий математик!
Подтверждаю правильный ответ эксперта epimkin : a=(-2 ; 3/2)

Здравствуйте, Mari!

Уравнение с заменой может иметь и два корня, но один изних должен быть меньше или равен нулю