Здравствуйте, pelageya.romanyuk2002!
Дано: Сумма векторов а^[$8594$] + b^[$8594$] + с^[$8594$] = 0 , |а| = 10, |b| =12 , |с| = 14 .
Вычислить сумму скалярных произведений векторов S = a^[$8594$]·b^[$8594$] + b^[$8594$]·с^[$8594$] + а^[$8594$]·с^[$8594$] .

Решение : "Суммой нескольких векторов а^[$8594$] + b^[$8594$] + с^[$8594$] называется вектор d^[$8594$] , получающийся в результате последовательного сложения данных векторов. Такая операция выполняется по правилу многоугольника" (аннотация из учебной статьи "Сложение и вычитание векторов" Ссылка1 )
Согласно условию задачи сума векторов а^[$8594$] + b^[$8594$] + с^[$8594$] равна нулю. Значит, конец последнего вектора совпадает с началом первого, образуя замкнутый треугольник.

Задача не имела бы решения, если бы один из векторов был длиннее суммы 2х других. Но используя Основные неравенства треугольника
a+b>c ; a+c>b ; b+c>a убеждаемся , что задача имеет решение в виде треугольника, построение которого возможно.
Зная длины всех сторон треугольника, можно всегда вычислить все остальные элементы треугольника и решить задачу несколькими способами.

Решим задачу самым простым для понимания способом с использованием теоремы косинусов в треугольнике :
a² = b² + c² - 2·b·c·cos(A)
b² = a² + c² - 2·a·c·cos(B)
c² = a² + b² - 2·a·b·cos(C)

cos(A) = (b² + c² - a²) / (2·b·c) = (144+196-100) / (2·12·14) = 5/7 = 0,714
cos(B) = (a² + c² - b²) / (2·a·c) = (100+196-144) / (2·10·14) = 19/35 = 0,543
cos(C) = (a² + b² - c²) / (2·a·b) = (100+144-196) / (2·10·12) = 48/240 = 1/5 = 0,2

Согласно Определению "Скалярным произведением двух ненулевых векторов a^[$8594$] и b^[$8594$] называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними" (см Ссылка2 )
a^[$8594$]·b^[$8594$] = |a|·|b|·cos(C) = 10·12·0,2 = 24
b^[$8594$]·c^[$8594$] = |b|·|c|·cos(A) = 12·14·5/7 = 120
a^[$8594$]·c^[$8594$] = |a|·|c|·cos(B) = 10·14·19/35 = 76

Сумма 3х скалярных произведений : S = a^[$8594$]·b^[$8594$] + b^[$8594$]·c^[$8594$] + a^[$8594$]·c^[$8594$] = 24 + 120 + 76 = 220

Сделаем простую проверку : сумма всех углов в треугольнике должна равняться 180° :
A = arccos(cos(A)) = 44,4° , B = arccos(cos(B)) = 57,1° , C = arccos(cos(C)) = 78,5°
A+B+C = 180,0° - проверка успешна! Но Ответ +220 - НЕправильный! Также неправильное решение показано на странице znanija.com/task/7768877 , по примеру кот-й я решал эту задачу.
Распростанённая ошибка кроется в том, что найденные углы треугольника ABC НЕ есть углы м-ду соответствующими векторами! Например, угол B треугольника и угол м-ду векторами a^[$8594$] и c^[$8594$] - это смежные углы, их сумма равна 180°, а их косинусы равны по модулю, но имеют разные знаки.

Ст модератор Лысков Игорь Витальевич разъяснил нам отличие треугольника от векторов. Большое Спасибо Игорю Витальевичу за помощь! Показываю исправленное решени в вычислителе Маткад:
Исправленный Ответ : Сумма 3х скалярных произведений равна -220 .

Решения похожих задач : Ссылка3 , Ссылка4 , Ссылка5