Здравствуйте, sasha181999_9!

Ящики не будут пустыми, если в каждом из них будет находиться по одному шару. Положим в каждый из трёх ящиков по одному шару. После этого в нашем распоряжении останутся два одинаковых шара, которые можно разложить по трём различным ящикам способами, при которых в двух ящиках будут находиться по два шара, а в одном ящике -- один шар. Наконец, можно два упомянутых выше шара положить в один из трёх ящиков (в нём окажутся три шара), оставив в двух других ящиках по одному шару.

Следовательно, разложить пять одинаковых шаров по трём различным ящикам так, чтобы ни один ящик не пустовал, можно шестью способами:
1) в первом и втором ящиках находятся по два шара и в третьем ящике находится один шар
2) в первом и третьем ящиках находятся по два шара и во втором ящике находится один шар
3) во втором и третьем ящиках находятся по два шара и в первом ящике находится один шар
4) в первом и втором ящиках находятся по одному шару и в третьем ящике находятся три шара
5) в первом и третьем ящиках находятся по одному шару и во втором ящике находятся три шара
6) во втором и третьем ящиках находятся по одному шару и в первом ящике находятся три шара