Консультация № 193389
14.06.2018, 14:09
0.00 руб.
0 19 1
Уважаемые эксперты! Пожалуйста, ответьте на вопрос:

Впишите в квадрат со стороной 100 фигуру, для которой отношение площади к периметру было бы максимальным. Например, для самого квадрата это отношение равно 25.

Обсуждение

давно
Мастер-Эксперт
17387
18345
14.06.2018, 15:15
общий
Адресаты:
Я рискну предположить, что наряду с самим квадратом, в соответствии с результатами, указанными здесь, такой фигурой будет вписанный в квадрат круг. Его радиус площадь периметр отношение площади к периметру

А чтобы "с ходу" это доказать, нужно знать соответствующие работы по геометрии. Возможно, среди экспертов есть такие знатоки.
Об авторе:
Facta loquuntur.
давно
Профессор
230118
3054
14.06.2018, 17:20
общий
А нельзя ли придумать фигуру, чтобы было больше 25?
давно
Мастер-Эксперт
17387
18345
14.06.2018, 17:29
общий
Адресаты:
Цитата: Асмик Гаряка
А нельзя ли придумать фигуру, чтобы было больше 25?

Я думаю, что нельзя. Среди фигур, имеющих заданный периметр, наибольшую площадь имеет круг. Впрочем, я могу ошибаться. Ведь изопериметрические и тому подобные задачи я не изучал.

Почему бы Вам не обратиться на математический форум? На нашем форуме математики если и бывают, то очень редко.
Об авторе:
Facta loquuntur.
давно
Профессор
230118
3054
14.06.2018, 17:39
общий
Адресаты:
Например, половинку эллипса?
давно
Мастер-Эксперт
259041
7459
14.06.2018, 17:40
общий
Адресаты:
Вы спрашивали : "А нельзя ли придумать фигуру, чтобы было больше 25?" - я придумал 2 фигуры. Окружность, вписанная в квадрат так, что её 80% длины сдавлены внеш-квадратом, имеет отношение площади к периметру 25,9. А вписанный 8-угольник, у кот-го 10% длины скошены возле квадра-углов, имеет отношение 26,0 !
Рисовать надо?
давно
Мастер-Эксперт
17387
18345
14.06.2018, 18:00
общий
Адресаты:
Цитата: Асмик Гаряка
Например, половинку эллипса?

Вы вычислили для этой фигуры отношение
Об авторе:
Facta loquuntur.
давно
Мастер-Эксперт
259041
7459
14.06.2018, 18:04
общий
Адресаты:
давно
Мастер-Эксперт
259041
7459
14.06.2018, 18:10
общий
14.06.2018, 18:18
Адресаты:
Для вписано-сплюснутой красной окружности площадь S=80^2 + 4*10*80 + pi * 10^2=6400+3200+314=9914
Периметр P=4*80 + pi * 20 = 320 + 62,8 = 382,8
Отношение S/P=25,9

Для вписанного синего 8-угольника площадь
S=80^2 + 4*10*80 + 20^2 / 2=6400+3200+200=9800
Периметр P=4*80 + 4 * 10 * Корень(2) = 320 + 4*14,1 = 377
Отношение S/P=26,0

В обоих вариантах значение X выбрано "с потолка". Осталось найти оптимальное значение X . У нас уже 01:16 на ДальВостоке. Если надо помогать дальше, тогда продолжим завтра.
давно
Профессор
230118
3054
14.06.2018, 18:15
общий
Адресаты:
Тут нет заданного периметра. Представьте, что в квадратной коробке лежит резиновая лента. И туда начинают запускать газ. Какую форму примет лента?
давно
Профессор
230118
3054
14.06.2018, 18:17
общий
Адресаты:
Молодец!
давно
Модератор
156417
2175
15.06.2018, 11:45
общий
Берём обозначения согласно рисунку Владимира Николаевича
S=L2-(4-[$960$])x2
p=4L-2(4-[$960$])x

Попробовал разобрать через производную d(S/p)/dx=0, оно свелось к уравнению
(4-[$960$])x2-4xL+L2=0
Откуда выходит
x=26,508
S/p=26,508
любопытное совпадение значений, однако
давно
Мастер-Эксперт
259041
7459
15.06.2018, 13:48
общий
Адресаты:
Вы просили "увеличьте радиус" - так я его уже увеличил. У 8-угольника радиус дуги бесконечен.
давно
Мастер-Эксперт
259041
7459
15.06.2018, 13:53
общий
Адресаты:
Ваше решение "S=L2-(4-π)x2" я так понимаю для 4х дуг? Мне интуиция так и подсказывала, x=10% - маловато будет. У Вас всё точно!
Интересно, получить отношение S/P при оптимальном X для 8-угольника. Полагаю, оно будет ещё больше, чем для дуг? Как вычислять Производные - я уже забыл.
давно
Профессор
230118
3054
15.06.2018, 15:38
общий
Адресаты:
Резиновая лента примет форму восьмиугольника? Нет, она прилипнет к стенкам, кроме углов.
давно
Мастер-Эксперт
259041
7459
15.06.2018, 16:12
общий
Адресаты:
Да пусть лента липнет, я не против. Только вспомните, что Ваша задача не про ленту, а про поиск фигуры, "для которой отношение площади к периметру было бы максимальным".
давно
Мастер-Эксперт
259041
7459
16.06.2018, 13:12
общий
Адресаты:
Маткад нашёл оптимальное значени x для 8-угольника : при x=15,4 отношение площади к периметру = 26,176. Побить рекорд Романа Chaplinsky не удалось. Значит, Округлость побеждает угловатость!
Прикрепленные файлы:
89c4aba46dad497b63e1ca6c8c84b401.png
давно
Мастер-Эксперт
259041
7459
16.06.2018, 13:13
общий
Адресаты:
В увеличенном масштабе:
Прикрепленные файлы:
7de1d5698cfdf7163b7d510fb10427f3.png
давно
Модератор
156417
2175
19.06.2018, 14:55
общий
это ответ
Здравствуйте, Асмик Гаряка!


Как известно, круг имеет наибольшую площадь при постоянном периметре, но отношение площади к периметру также прямо пропорционально линейным размерам фигуры, поэтому при определённых ограничениях может быть увеличено путём отклонения от формы круга. Также заметим важный вывод насчёт круга - для отношения площади к периметру закругление выгоднее углов.

Учитывая, что как для самого квадрата, так и для вписанного в него круга S/P=25, рассмотрим промежуточный вариант кварата с закруглёнными углами



S=L2-(4-[$960$])x2
P=4L-2(4-[$960$])x

Найдём максимум через производную
d(S/P)dx=0
(dS/dx[$183$]P-S[$183$]dP/dx)/P2=0
dS/dx[$183$]P-S[$183$]dP/dx=0
-2[$183$](4-[$960$])x[$183$]2(2L-(4-[$960$])x)+(L2-(4-[$960$])x2)[$183$]2(4-[$960$])=0
-2x[$183$](2L-(4-[$960$])x)+L2-(4-[$960$])x2=0
(4-[$960$])x2-4xL+L2=0
в область допустимых значений (от x=0, соответствующего квадрату, до x=L/2=50, соответствующего кругу) попадает корень
x=(4L-[$8730$](16L2-4L2(4-[$960$])))/(2(4-[$960$]))=L[$183$](4-[$8730$](4[$960$]))/(2(4-[$960$]))=L[$183$](2-[$8730$][$960$])/(4-[$960$])=L/(2+[$8730$][$960$])=26,508

откуда
S/P=(L2-L2(2-[$8730$][$960$])/(2+[$8730$][$960$]))/(4L-2L(2-[$8730$][$960$]))=L[$183$](1-(2-[$8730$][$960$])/(2+[$8730$][$960$]))/2[$8730$][$960$]=L[$183$](2[$8730$][$960$]/(2+[$8730$][$960$]))/2[$8730$][$960$]=L/(2+[$8730$][$960$])=26,508
5
давно
Мастер-Эксперт
259041
7459
20.06.2018, 05:36
общий
Эта интересная задача не такая уж и абстрактная, как кажется поначалу. Она может иметь практическое применение и принести экономический эффект! Например, в башне-цилиндре с ограниченным количеством материала для боковой поверхности цилиндра можно уместить больше содержимого, если заменить круглое сечение на квадрат с закруглёнными углами, как в Ответе Романа Chaplinsky .
Тара в такой форме будет иметь гораздо бОльшую плотность упаковки во внешнем контейнере, чем кругло-цилиндрические бутыли!

Недостаток сплющенного цилиндра : если ёмкость такой приплюснутой формы будет под высоким давлением (эл-водо-нагреватель), то для поддержания формы плоской части стенки потребуется бОльшая прочность, чем для разрыва окружности. Поддержание формы можно обеспечить ребристостью, гофрированием, некоторым утолщением либо смириться с небольшим распиранием плоскости.
Форма ответа