Здравствуйте, alenarebro!
1. Пусть нам известны уравнения сторон
AB (
x-y-2=0) и
AD (
x-5y+6=0). Координаты точки
A (точки пересечения сторон
AB и
AD) найдём, решив систему:
Её решением будет
x = 4,
y = 2, то есть
A(4, 2). Так как в параллелограмме точка пересечения диагоналей делит каждую из них пополам, то точка
C будет симметрична точке
A относительно начала координат, то есть
C(-4, -2).
Стороны
CD и
BC проходят через точку
C параллельно сторонам
AB и
AD соответственно, поэтому их уравнения будут иметь вид
x-y+с[sub]1[/sub]=0 и
x-5y+с[sub]2[/sub]=0.
Коэффициенты
с[sub]1[/sub] и
с[sub]2[/sub] выбираем таким образом, чтобы координаты точки
C удовлетворяли этим уравнениям. Получаем уравнения сторон
CD (
x-y+2=0) и
BC (
x-5y-6=0).
Зная уравнения сторон
AB и
BC, можно найти координаты точки
B, решив систему:
Её решением будет
x = 1,
y = -1, то есть
B(1, -1). Точка
D будет симметрична точке
B относительно начала координат:
D(-1, 1).
Осталось составить уравнения диагоналей. Поскольку обе диагонали проходят через начало координат, их уравнения будут иметь вид
y = kx. В частности, для диагонали
AC, проходящей через точку
A(4, 2) имеем
y = x/2 или
x-2y=0, а для диагонали
BD, проходящей через точку
B(1, -1) имеем
y = -x или
x+y=0.
3. Вектора
a[sub]1[/sub],
a[sub]2[/sub] и
a[sub]3[/sub] будут линейно независимы в том и только в том случае, когда равенство
[$955$][sub]1[/sub]a[sub]1[/sub]+[$955$][sub]2[/sub]a[sub]2[/sub]+[$955$][sub]3[/sub]a[sub]3[/sub]=0 лишь для
[$955$][sub]1[/sub]=[$955$][sub]2[/sub]=[$955$][sub]3[/sub]=0. В данном случае
или, записав в виде системы:
Найдём определитель системы:
Так как определитель не равен 0, то однородная система имеет единственное решение
[$955$][sub]1[/sub]=[$955$][sub]2[/sub]=[$955$][sub]3[/sub]=0 и вектора
a[sub]1[/sub],
a[sub]2[/sub] и
a[sub]3[/sub] линейно независимы.
Разложение вектора
k в базисе
a[sub]1[/sub],
a[sub]2[/sub] и
a[sub]3[/sub] будет иметь вид
или в виде системы:
Решим систему методом Крамера:
то есть
k = 2a[sub]1[/sub] - a[sub]2[/sub] - 3a[sub]3[/sub].
4. Запишем матрицу систему (включая столбец свободных членов):
Разделим первую строку на элемент первого столбца (1) и вычтем из всех последующих, домножив на соответствующие коэффициенты (3, 3 и 2), выбранные таким образом, чтобы обнулить остальные элементы первого столбца:
Повторим для второй строки (разделив её на 5 и вычтя из третьей и четвёртой строки, домножив на 2 и 3 соответственно):
Проделаем аналогичную операцию для третьей строки (разделив её на -11/5 и вычтя из четвёртой строки, домножив на 16/5):
Четвёртую строку просто разделим на соответствующий элемент (-5/11):
Получаем верхнюю треугольную матрицу (в которой все элементы ниже главной диагонали равны нулю). Теперь проделываем аналогичные операции "в обратном порядке" (снизу вверх): вычитаем четвёртую строку из остальных, домножив соответственно на -2, 14/5 и -17/11 (чтобы обнулить остальные элементы четвёртого столбца):
вычитаем третью строку из первой и второй, домножив соответственно на -7/5 и 1:
вычитаем вторую строку из первой, домножив на -1:
Получаем единичную матрицу и столбец свободных членов, элементы которого являются решением системы:
7. Из уравнения прямой
следует, что прямая проходит через точку
M(0,-2,-1) и имеет направляющий вектор
a = {3, 2, -1}. Так как плоскость проходит через прямую, то точка
M принадлежит плоскости, а вектор
a параллелен ей. Поскольку точка
A принадлежит плоскости, то вектор
MA = {5, 2, 5} будет также параллелен плоскости, а вектор
будет перпендикулярен ей, то есть являться нормальным вектором плоскости. С учётом того, что точка
M принадлежит плоскости, её уравнение можно записать в виде
или, после раскрытия скобок и сокращения на общий множитель 4: