16.05.2017, 12:42
общий
это ответ
Здравствуйте, vlaad!
Если груз m1 перемещается вверх/вниз на расстояние 2[$916$]x, то груз m2 перемещается вниз/вверх на расстояние [$916$]x. Так как m2 = 2m1, энергия системы грузов m1, m2 не изменяется (блоки и нити считаем невесомыми). Следовательно, сила, действующая на груз m3 стороны системы блоков с грузами m1, m2 по принципу виртуальной работы равна нулю. Поэтому груз m3 будет двигаться с ускорением свободного падения g.
Вместо предыдущего ошибочного решения (в котором была забыта кинетическая энергия) приведу
другое решение, основанное на использовании уравнений Лагранжа.
Смещения [$916$]x1, [$916$]x2 грузов m1, m2 пропорциональны смещению [$916$]x3 груза m3:
[$916$]x1 = b13[$916$]x3, [$916$]x2 = b23[$916$]x3, постоянные коэффициенты b13, b23 определим позже.
Дифференцируя, находим v1 = b13v3, v2 = b23v3.
Выразим кинетическую и потенциальную энергию системы через скорость и координату третьего груза:
T = (1/2)*(m1v12+m2v22+m3v32)= (1/2)*(b132m1+b232m2 +m3)*v32;
U = -g*(m1[$916$]x1 + m2[$916$]x2 + m3[$916$]x3) = -g*(b13m1 + b23m2 + m3)*[$916$]x3.
Здесь предполагается, что ось x направлена вниз и потенциальная энергия отсчитывается от начального положения грузов.
Подставим выражения для кинетической и потенциальной энергии в уравнение Лагранжа
d(dT/dv3)/dt + dU/dx3 = 0,
получим
(b132m1+b232m2+m3)*a3 = g*(b13m1 + b23m2 + m3),
откуда найдем общее выражение для ускорения третьего груза:
а3= g*(b13m1 + b23m2 + m3)/(b132m1+b232m2+m3).
Определим коэффициенты b13, b23 из рисунка. Заметим, что между [$916$]x1, [$916$]x2, [$916$]x3 существует связь
[$916$]x1=-2[$916$]x2; [$916$]x3=([$916$]x1+[$916$]x2/2)/2,
откуда [$916$]x1 = (8/3)[$916$]x3, [$916$]x2 = -(4/3)[$916$]x3,
т.е. b13 = 8/3, b23 = -4/3.
Подставляя значения b13, b23 и масс m1=1, m2 = 2, m3 = 3 в формулу для ускорения, получим
a3 = g*((8/3)*1 - (4/3)*2 + 3)/((8/3)2*1 + (4/3)2*2 + 3) = (9/41)*g.