Насколько мне известно, в общем случае построить треугольник по трём его биссектрисам с помощью циркуля и линейки невозможно. По-видимому, в случае прямоугольного треугольника помогает то, что если построен прямой угол, то известно положение его биссектрисы (можно показать, что она меньше двух других биссектрис), и биссектрисы острых углов прямоугольного треугольника при пересечении образуют углы 45 и 135 градусов...

Есть над чем подумать. Было бы время и терпение! Откуда Вы взяли эту задачу?

По условию задачи исходный треугольник произвольный, значит, может быть равносторонним (с равными биссектрисами). Но для прямоугольного треугольника биссектриса, выходящая из прямого угла, строго меньше двух других биссектрис. Поэтому удовлетворить условиям задачи нельзя.

А если длины биссектрис таковы, что искомый прямоугольный треугольник заведомо существует?

Благодарю за отклики,
поясню условие задачи - речь идет о любом произвольном треугольнике, как об одном, так и о 10 произвольных разных треугольниках, не подобных друг другу, для которых было бы всегда справедливо универсальное решение. Про этот алгоритм-решение я и задавал вопрос.

Если эту задачу Вы сформулировали сами, то должны понимать, что не для всякого треугольника можно построить прямоугольный с такими же длинами биссектрис. На это и обратил Ваше внимание Сергей Евгеньевич.

Я правильно понимаю, что эту задачу Вы сформулировали сами, а не взяли из заслуживающего доверия источника?

Вы правы , эту задачу я сформулировал сам, если можно, объяните чуть подробнее -
[b]что не для всякого треугольника можно построить прямоугольный с такими же длинами биссектрис[/b]
В каких случаях это возможно, в каких построение невозможно?
И второй вопрос - получается, что для произвольного треугольника, который не мы сами выбираем, а который нам уже в дан, как исходный, данная задача не решаема (т.е. иными словами для общего случая) ?
Если где-то непонятно выразил, что хочу спросить, извиняюсь, укажите где поясню.
СПАСИБО за ответы!

Чтобы Вам стало понятно, что не всегда можно построить треугольник по трём произвольно заданным отрезкам, попробуйте рассмотреть задачу попроще. Например, попробуйте построить с помощью циркуля и линейки треугольник по трём сторонам, заданным произвольно. Всегда ли эта задача имеет решение, по-Вашему?

Что касается невозможности построения прямоугольного треугольника по биссектрисам произвольного треугольника, то Сергей Евгеньевич написал Вам, что треугольник не может быть произвольным, в частности, он не может быть равносторонним, потому что биссектрисы равностороннего треугольника равны между собой, а у прямоугольного треугольника все три биссектрисы не могут быть равными между собой.

Чтобы найти соотношения между биссектрисами, которые должны выполняться, чтобы по ним можно было построить прямоугольный треугольник, нужно провести исследование или воспользоваться готовыми результатами. Мне таковые неизвестны. Знаю только, что по трём биссектрисам в общем случае невозможно построить треугольник с помощью циркуля и линейки. Вы имеете в виду построение с помощью циркуля и линейки или что-то другое?

Добавлю к объяснениям Андрея Владимировича.
Заглянем в Википедию, где приведены формулы, выражающие длину биссектрисы через стороны треугольника:
L_c = [$8730$](ab*(a+b+c)*(a+b-c))/(a+b).
Аналогичные формулы можно написать для двух других биссектрис. У нас есть три неизвестных - стороны треугольника a, b, c, и три уравнения, в которые они входят. Чтобы по этим биссектрисам можно было построить прямоугольный треугольник, нужно добавить уравнение c² = a² + b², и мы получим четыре уравнения для трех неизвестных. В типичном случае эта система не будет иметь решений, если исходный треугольник не был прямоугольным.
То есть, в типичном случае не существует прямоугольного треугольника с биссектрисами другого, не прямоугольного треугольника.

Благодарю Вас за ответы
Вы имеете в виду построение с помощью циркуля и линейки или что-то другое?
Да я имел в виду решение данной задачи именно классическими построениями с помощью циркуля и линейки
"внутри" Евклидовой геометрии, про равносторонний треугольник понял. Получается, что он будет исключением для общего случая решения данной задачи.
Если позволите еще два вопроса :
1 Кроме равностороннего треугольника, не видится ли Вам с вашим опытом явных исключений, т.е. невозможностей решения данной задачи, которые видны навскидку?
2 То есть, в типичном случае не существует прямоугольного треугольника с биссектрисами другого, не прямоугольного треугольника - Это означает "приговор" - что данная задача не решаема?
Благодарю за живое общение, (в сети, к сожалению, теперь буду только вечером)

Я пока не утверждал, что не существует прямоугольного треугольника с биссектрисами непрямоугольного треугольника, хотя интуитивно полагаю что это так. Это нужно исследовать.

И процитирую Ю. И. Манина:

Благодарю всех за ответы,
с Вами было интересно общаться.
Не знаю правил этого ресурса, поэтому хочу уточнить -
если в течение 1-2 недель у меня возникнет еще вопрос или уточнение по этой задаче, можно будет его задать прямо в этой ветке?

Не знаю правил этого ресурса, поэтому хочу уточнить -
если в течение 1-2 недель у меня возникнет еще вопрос или уточнение по этой задаче, можно будет его задать прямо в этой ветке?

Если ответ на Ваш вопрос не потребует дополнительно каких-то поисков и исследований, то можете задавать его в этом мини-форуме. Если потребует, то создайте новую консультацию.

Благодарю, понял Вас.