Здравствуйте, Анна Витальевна!

Введём декартову прямоугольную систему координат, поместив её центр в точке пересечения диагоналей нижнего основания прямоугольного параллелепипеда, ось абсцисс направим параллельно одной из сторон этого основания. В этой системе координат вершина параллелепипеда, расположенная в первом октанте координатного пространства, имеет координаты а объём параллелепипеда выражается формулой


Интуиция, основанная на "соображениях симметрии", подсказывает, что в основании параллелепипеда должен быть квадрат. Чтобы убедиться в этом, перейдём к сферическим координатам по формулам и преобразуем формулу (1):


Имеем

учитывая, что в нашем случае из необходимого условия экстремума функции двух переменных (в нашем случае это и ) получим




В этом случае (то есть интуитивные соображения оказались верными).

Чтобы не быть вынужденными решать тригонометрические уравнения и выполнять громоздкие вычисления, вернёмся обратно к прямоугольной системе координат. Рассматривая сечение конуса плоскостью, проходящей через указанную выше вершину и ось конуса, найдём, что





или, с учётом формулы (1),


Нули производной функции (2) по переменной совпадают с нулями производной функции Найдём их:

первый нуль производной соответствует минимуму функции а второй нуль её максимуму, что очевидно из "геометрических соображений". В этом можно убедиться и формально, определив знак второй производной при найденных значениях Значит, максимальному объёму параллелепипеда соответствуют значения

а искомый объём равен

или


Вам предстоит проверить выкладки во избежание ошибок.

С уважением.