Здравствуйте, fridge!

1. По заданному уравнению устанавливаем коэффициенты:

составляем матрицу квадратичной функции:

матрицу квадратичной формы:

столбец коэффициентов линейной формы:


2. Составляем характеристическое уравнение и решаем его:






Вычисляем инвариант:

(Чтобы не ошибиться при расчёте, проводим его с помощью MS Excel.)

3. Т. к. то заданное уравнение является уравнением параболы.

4. Нумеруем корни характеристического уравнения:

5. Находим взаимно ортогональные собственные направления соответствующие корням характеристического уравнения. Т. к. корни простые, то находим ненулевые решения систем
- для

При этом

- в качестве собственного направления берём ненулевой столбец, пропорциональный первому столбцу матрицы

Определяем координатные столбцы векторов канонического базиса:



6. Находим координаты начала канонической системы координат. Т. к. линия является параболой, вычисляем



Составляем и решаем систему уравнений:


Получаем Следовательно, т. е. начало канонической системы координат совпадает с началом исходной системы координат.

7. Вычисляем коэффициент канонического уравнения параболы:

Значит, каноническое уравнение заданной линии (параболы) имеет вид


8. На координатной плоскости (с осями исходной системы координат) изображаем каноническую систему координат с базисными векторами


9. В канонической системе координат строим параболу

График, нуждающийся в доработке по п. 8 приведенного решения есть здесь. Доработка проста: нужно изобразить базисные векторы и провести через них оси. Базисные векторы определяют положительные направления соответствующих осей.

С уважением.