Здравствуйте, Aleksandrkib!
y'''+4y''=3x+e^-4x.
Общее решение неоднородного уравнения y=y_oo+y_чн.
y_oo - общее решение однородного уравнения y'''+4y''=0.
Характеристическое уравнение k³+4k²=0 имеет действительные корни k₁=-4 и k₂=k₃=0.
Следовательно, y_oo=С₁e^{k[sub]1[/sub]x}+(С₂+С₃x)e^{k[sub]2[/sub]x}. т.е. y_oo=С₁e^-4x+С₂+С₃x.
В соответствии с принципом суперпозиции решений частное решение неоднородного уравнения y_чн=Y₁+Y₂,
где Y₁ - частное решенеие уравнения y'''+4y''=3x, Y₂ - частное решенеие уравнения y'''+4y''=e^-4x.
1) Поскольку корень k=0 имеет кратность 2, то Y₁=x²(Ax+B).
Y₁'=3Ax²+2Bx, Y₁''=6Ax+2B, Y₁'''=6A.
Подставляя в уравнение, имеем: 6А+24Ах+8В=3х. Отсюда
А=3/24=1/8,
6А+8В=0 [$8658$] В=(-3/4)А=-3/32.
Итак, Y₁=х³/8-3х²/32.
2) Поскольку корень k=-4 имеет кратность 1, то Y₂=Аxe^-4x.
Y₂'=Аe^-4x-4Аxe^-4x=А(1-4x)e^-4x, Y₂''=-4Аe^-4x-4А(1-4x)e^-4x=А(-8+16x)e^-4x, Y₂'''=16Аe^-4x-4А(-8+16x)e^-4x=А(48-64x)e^-4x.
Подставляя в уравнение, имеем: А(48-64x)e^-4x+4А(-8+16x)e^-4x=e^-4x,
А(48-64x-32+64х)=1. Отсюда
16А=1 [$8658$] А=1/16
Итак, Y₂=xe^-4x/16.
Окончательно, y=y_oo+y_чн=С₁e^-4x+С₂+С₃x+х³/8-3х²/32+xe^-4x/16.