Здравствуйте, Тимофеев Алексей Валентинович!

Пусть w --- общий корень уравнений. Т.е. пусть у обоих корни есть, причём у первого --- w и y, а у второго --- w и z.

Тогда, по формулам Виетта:
w + y = 1/2 - 2a,
wy = 4a + 1/2,
w + z = 1 - 2a,
wz = 5a + 1.

Вычитая первое из третьего получаем
z - y = 1/2.
Вычитая второе из четвёртого, получаем
w (z - y) = a + 1/2,
откуда получаем, что общий корень w = 2a + 1.

Подставляя это, например, в третье уравнение, получим
z = -4a,
так что, подставив z и w, выраженные через a, в четвёртое, получим квадратное уравнение на a:
8 a^2 + 9a + 1 = 0,
откуда a = -1 или a = -1/8.

При этом подразумевалось, что корни исходных уравнений вообще существуют. Т.е. надо проверить, что при данных a оба уравнения имеют неотрицательные дискриминаты. Это действительно так. Так что, окончательно, a = -1 или a = -1/8.