Главная Вход в систему Регистрация
Задать вопрос Консультации Пользователи Форум
О системе Помощь
Задать вопрос экспертам
Консультация № 187826
23.04.2014, 18:44
79.10 руб.
23.04.2014, 20:54
0 4 1
Образование
Здравствуйте! У меня возникли сложности с таким вопросом: При каких значениях а существует корень уравнения x^2+(a+1)x-3=0, удовлетворяющий неравенству x^2-3x+2<=0. Заранее благодарен.

Обсуждение

давно
Гордиенко Андрей Владимирович
Мастер-Эксперт
17387
18345
23.04.2014, 20:19
общий
Адресаты:
Здравствуйте!

Вы имеете в виду уравнение x^2+(a+1)x-3=0?
Об авторе:
Facta loquuntur.
давно
Тимофеев Алексей Валентинович
Профессионал
304951
93
23.04.2014, 20:51
общий
Извините, пожалуйста, не дописал уравнение =0.
давно
Гордиенко Андрей Владимирович
Мастер-Эксперт
17387
18345
24.04.2014, 19:42
общий
это ответ
Здравствуйте, Алексей Валентинович!

1. Имеем x^2-3x+2=(x-1)(x-2); неравенство x^2-3x+2<=0 удовлетворяется при 1<=x<=2.
2. Приравнивая ординаты, находим абсциссы точек пересечения графиков функций y=x^2+(a+1)x-3 и y=x^2-3x+2: x=5/(a+4).
3. Полагая x=1, из последнего равенства получаем а=1; полагая х=2, получаем а=-3/2. Делаем вывод, что условию задачи удовлетворяют значения а из сегмента [-3/2; 1].
4. Убедимся в правильности полученного результата. Для этого перепишем заданное уравнение так: x^2-3=kx (k=-(a+1)) и построим в декартовой прямоугольной системе координат график функции f(x)=x^2-3. При этом f(1)=1^2-3=-2, f(2)=2^2-3=1. Проведём из начала координат полупрямые к точкам (1; -2) и (2; 1). Угловые коэффициенты соответствующих полупрямых составляют k=-2/1=-2 и k=1/2; им соответствуют значения a=1 и a=-3/2. При повороте против часовой стрелки первой полупрямой до совпадения со второй угловой коэффициент непрерывно изменяется от -2 до 1/2, а параметр а - от 1 до -3/2.

Ответ: -3/2<=a<=1.

С уважением.
5
Об авторе:
Facta loquuntur.
Неизвестный
24.04.2014, 20:02
общий
Здравствуйте, Алексей Валентинович!

Ответ уже был дан, и я всего лишь хотел привести другой способ решения.
1) Неравенство x^2-3x+2<=0 равносильно неравенству (x-1)(x-2) <= 0 и имеет место только при 1<=x<=2.
2) Рассмотрим функцию f(x) =x^2+(a+1)x-3. Видим, что при больших по модулю значениях x значения f(x) положительны, и в то же время f(0) = -3. Получаем, что при любых значениях параметра a уравнение x^2+(a+1)x-3=0 имеет два действительных корня, один отрицательный и один положительный.
3) Положительный корень уравнения x^2+(a+1)x-3=0 должен находиться в отрезке [1,2], что приводит к двух неравенствам
f(1)<=0 <=> 1^2+(a+1)*1-3 <= 0 <=> 1+a+1-3=a-1 <= 0 <=> a<=1
f(2)>=0 <=> 2^2+(a+1)*2-3 >= 0 <=> 4+2a+2-3=2a+3 >= 0 <=> a>=-3/2

Ответ: -3/2 <= a <= 1
Форма ответа