Здравствуйте, Барс Иван!
Задание2
Воспользуемся формулой
P{|n_A/n - p| < e} >= 1 - (pq)/(ne^2).
Имеем:
1 - (pq)/(ne^2) >= 0,9
1 - (p(1-p))/(n*0,0004) >= 0,9
(p(1-p))/(n*0,0004) <= 0,1
2500*p(1-p)<= 0,1*n
n >= 25000*p*(1-p)

Задание 4
Оценка параметра находится из условия максимума функции правдоподобия (тут и далее Т - тета)
L=(1-T)*T^(x1-1)*(1-T)*T^(x2-1)*...*(1-T)*T^(xn-1)=(1/T-1)^n*T^x1*T^x2*...*T^xn.
Прологарифмировав и приравняв производную к 0, получим:
Ln(L)=n*Ln(1/T-1)+Ln(T)*(x1+x2+...+xn);
dLn(L)/dT=1/T*(x1+...+xn-n/(1-T))=0 -> T*=1-n/(x1+...+xn)
Вторая производная:
-1/T*((x1+...+xn)/T+n(2T-1)/(T(1-T)^2))
в точке T=T* равна -n(x1+...+xn)^3/(x1+...+xn-n).
Так как она отрицательная (учитываем, что сумма n натуральных чисел превышает n), то максимум подтверждается.