Здравствуйте, Евгений Капустин!
y^''-2y^'=e^x (x^2+2x+1)
Искомое решение имеет вид:
y(x)=y ̅(x)+y^* (x)
Составим характеристическое уравнение:
k^2-2k=0
Его корни равны:
k_1=0 и k_2=2
Следовательно, общее решение имеет вид:
y ̅(x)=C_1+C_2 e^2x
y^* (x) выберем в виде:
y^*=Ae^x+Bxe^x+Cx^2 e^x
Находим производные:
y^' (x)=AAe^x+Be^x+Bxe^x+Cx^2 e^x+2Cxe^x
y^'' (x)=Ae^x+B(2e^x+xe^x )+C(2e^x+x^2 e^x+4xe^x )
И подставляем в левую часть уравнения:
Ae^x+B(2e^x+xe^x )+C(2e^x+x^2 e^x+4xe^x )-2(AAe^x+Be^x+Bxe^x+Cx^2 e^x+2Cxe^x )=e^x (x^2+2x+1)
e^x (-A+2C)-Bxe^x-Cx^2 e^x=e^x+2xe^x+x^2 e^x
{█(-A+2C=1@-B=2@-C=1)┤
{█(A=-3@B=-2@C=-1)┤
y^*=-3e^x-2xe^x-x^2 e^x
Следовательно, общее решение неоднородного уравнения:
y(x)=C_1+C_2 e^2x-3e^x-2xe^x-x^2 e^x