Лидеры рейтинга

ID: 259041

Алексеев Владимир Николаевич

Мастер-Эксперт

323

Россия, пос. Теплоозёрск, ЕАО


ID: 401284

Михаил Александров

Советник

278

Россия, Санкт-Петербург


ID: 400669

epimkin

Профессионал

254


ID: 137394

Megaloman

Мастер-Эксперт

122

Беларусь, Гомель


ID: 405239

al4293189

1-й класс

92


ID: 325460

CradleA

Мастер-Эксперт

76

Беларусь, Минск


ID: 226425

Konstantin Shvetski

Модератор

49

Россия, Северодвинск


8.9.8

01.08.2021

JS: 2.9.16
CSS: 4.5.14
jQuery: 3.6.0
DataForLocalStorage: 2021-08-02 12:16:01-standard


Консультации и решение задач по алгебре, геометрии, анализу, дискретной математике.

Администратор раздела: Коцюрбенко Алексей Владимирович (Старший модератор)

Консультация онлайн # 187348

Раздел: Математика
Автор вопроса: Пучнин Алексей Александрович
Дата: 16.05.2013, 02:14 Консультация закрыта
Поступило ответов: 2

Здравствуйте! У меня возникли сложности с таким вопросом:
Прошу о помощи в решении Уравнения математической физики.
Найти решение u=u(x,t) начально-краевой задачи для гиперболического уравнения в виде обобщенного ряда Фурье.

Ответ # 272278 от асяня
Здравствуйте, Пучнин Алексей Александрович!
(1)
(2)
(3)

Решаем методом разделения переменных.
u(x,t)=X(x)T(t). (4)
Подставляя (4) в уравнение (1) и разделяя переменные, получим:

Отсюда приходим к выводу, что функции X(x) и T(t) удовлетворяют, сооответственно, обыкновенным дифференциальным уравнениям:
X''+λ2X=0, (5)
T''+36λ2T=0. (6)
Подставляя (4) в граничные условия (2), получим:
X(0)=0, X'(3)=0. (7)
Решая задачу Штурма-Лиувилля (5), (7), находим:
X(x)=Acosλx+Bsinλx.
X(0)=0 ⇒ A=0.
X'(3)=0 ⇒ Bλcos3λ=0 ⇒
Итак, собственные значения задачи Штурма-Лиувилля: ,
собственные функции (с точностью до множителя).
Уравнение (6) имеет общее решение .
Подставляя , получим:
.
Решением линейного однородного уравнения (1) будет функция, представляющая собой сумму частных решений uk(x,t)=Xk(x)Tk(t),
и определяемая рядом

Найдем константы C1k и C2k из начальных условий (3):
(8)

(9)
Система собственных функций {sin((2k+1)pi x/6)} ортогональна на интервале (0,3), причем квадрат нормы собственной функции

Рассматривая в равенстве (8) C1k как коэффициенты разложения функции f(x)=3-x в ряд Фурье на интервале (0,3), находим:



Из (9) находим
Таким образом, искомое решение смешанной задачи есть



асяня

Профессор
17.05.2013, 19:57
Ответ # 272280 от Орловский Дмитрий
Здравствуйте, Пучнин Алексей Александрович!
Второй вопрс
Находим собственные функции и собственные значенимя однородного уравнения
ut=9uxx
Полагаем u=T(t)X(x), получаем
T'X=9TX''
T'/9T=X''/X=λ ⇒ T'=9λT; X''=λX
Условия u(0,t)=u(3,t)=0 дают X(0)=X(3)=0
Получаем задачу Штурма-Лиувилля
X''=λX, X(0)=0, X(3)=0
Ее решение λn=-(pi*n/3)2, Xn=sin(n*pi*x/3)

Далее решение исходной задачи ищем в виде ряда Фурье по собственным функциям задачи Штурма-Лиувилля
u(x,t)=∑n=1Tn(t)Xn(x)
Подставляя в уравнение, получаем
n=1T'nXn=9∑n=1λnTnXn+∑n=1fnXn
где fn - коэффициенты Фурье функции f(x,t)=x(1-e-3t)
Это дает нам дифференциальное уравнение T'n=9λn+fn
Из начального условия u(x,0)=0 получаем, что Tn(0)=0
Таким образом, функция Tn является решением задачи Коши
T'n=9λnTn+fn
Tn(0)=0
По формулам из курса обыкновенных дифференциальных уравнений находим, что
Tn(t)=∫0tfn(ξ)exp[9λn(t-ξ)]dξ

Вычисляем
fn(t)=(2/3)∫03x(1-e-3t)sin(n*pi*x/3)dx=(2/3)(1-e-3t)[-(3x/pi*n)cos(n*pi*x/3)+(9/pi2n2)sin(n*pi*x/3)]03=6(-1)n+1(1-e-3t)/(pi*n)
Следовательно,
Tn(t)=6(-1)n+1/(pi*n)∫0t(1-e-3ξ)e-(pi^2n^2(t-ξ))dξ=6(-1)n+1/(pi*n)e(-pi^2n^2)t[(e(pi^2n^2)t-1)/(pi^2n^2)-((e(pi^2n^2-3)t-1)/(pi^2n^2-3))]
Решение задачи
u(x,t)=∑n=1Tn(t)sin(n*pi*x/3)

Орловский Дмитрий

Мастер-Эксперт
18.05.2013, 13:39
Мини-форум консультации # 187348

q_id

асяня

Профессор

ID: 323606

1

= общий =    17.05.2013, 01:33

Отсутствует одно из граничных условий. Может быть, u(0,t)=0?

неизвестный

2

= общий =    17.05.2013, 09:32

Да, Действительно так. Вот оригинал.
P.S Помогите решить еще следующие задание. Повышаю цену до 200.
P.S.S Желательно с объяснением, для общего развития :)

-----
Прикрепленные файлы:

Последнее редактирование 17.05.2013, 11:42 [неизвестный]

неизвестный

3

= общий =    17.05.2013, 21:07
асяня:

Спасибо. Вроде Все понятно.
Уважаемые эксперты, по возможности решите еще 5 задание, для параболического уравнения.

q_id

асяня

Профессор

ID: 323606

4

= общий =    18.05.2013, 16:23
Орловский Дмитрий:

Добрый день!
В диф.уравнении для Тn в первом слагаемом из правой части пропущен множитель.

q_id

Орловский Дмитрий

Мастер-Эксперт

ID: 319965

5

= общий =    18.05.2013, 18:29
асяня:

Спасибо, исправил.

неизвестный

6

= общий =    19.05.2013, 01:24

Tn(t)=6(-1)n+1/(pi*n)∫0t(1-e-3ξ)e-(pi^2n^2(t-ξ))dξ=6(-1)n+1/(pi*n)e(-pi^2n^2)t[(e(pi^2n^2)t-1)/(pi^2n^2)-((e(pi^2n^2-3)t-1)/(pi^2n^2-3))]
Можете пояснить в какой степени тут экспонента?

q_id

асяня

Профессор

ID: 323606

7

= общий =    19.05.2013, 13:48

Под знаком интеграла экспонента exp[9λn(t-ξ)]. Подставляя λn=-(pi*n/3)2, получим

q_id

Орловский Дмитрий

Мастер-Эксперт

ID: 319965

8

= общий =    22.05.2013, 12:26

Можете пояснить в какой степени тут экспонента

-----
Прикрепленные файлы:

Возможность оставлять сообщения в мини-форумах консультаций доступна только после входа в систему.
Воспользуйтесь кнопкой входа вверху страницы, если Вы зарегистрированы или пройдите простую процедуру регистрации на Портале.

Лучшие эксперты раздела

Михаил Александров

Советник

Рейтинг: 278

epimkin

Профессионал

Рейтинг: 254

CradleA

Мастер-Эксперт

Рейтинг: 76

Konstantin Shvetski

Модератор

Рейтинг: 49

Коцюрбенко Алексей Владимирович

Старший модератор

Рейтинг: 8

Roman Chaplinsky / Химик CH

Модератор

Рейтинг: 1