Здравствуйте, Пучнин Алексей Александрович!
(1)
(2)
(3)
Решаем методом разделения переменных.
u(x,t)=X(x)T(t). (4)
Подставляя (4) в уравнение (1) и разделяя переменные, получим:
Отсюда приходим к выводу, что функции X(x) и T(t) удовлетворяют, сооответственно, обыкновенным дифференциальным уравнениям:
X''+[$955$]
2X=0, (5)
T''+36[$955$]
2T=0. (6)
Подставляя (4) в граничные условия (2), получим:
X(0)=0, X'(3)=0. (7)
Решая задачу Штурма-Лиувилля (5), (7), находим:
X(x)=Acos[$955$]x+Bsin[$955$]x.
X(0)=0 [$8658$] A=0.
X'(3)=0 [$8658$] B[$955$]cos3[$955$]=0 [$8658$]
Итак, собственные значения задачи Штурма-Лиувилля:
,
собственные функции (с точностью до множителя)
.
Уравнение (6) имеет общее решение
.
Подставляя
, получим:
.
Решением линейного однородного уравнения (1) будет функция, представляющая собой сумму частных решений u
k(x,t)=X
k(x)T
k(t),
и определяемая рядом
Найдем константы C
1k и C
2k из начальных условий (3):
(8)
(9)
Система собственных функций {sin((2k+1)pi x/6)} ортогональна на интервале (0,3), причем квадрат нормы собственной функции
Рассматривая в равенстве (8) C
1k как коэффициенты разложения функции f(x)=3-x в ряд Фурье на интервале (0,3), находим:
Из (9) находим
Таким образом, искомое решение смешанной задачи есть