Здравствуйте, Михаил!

Задача 1. (Из билета)
Найти дивергенцию тензора 2-го ранга в сферической системе координат.
Даны формулы перехода от сферической системы координат к декартовой:
x = x¹sin(x²)cos(x³); y = x¹sin(x²)sin(x³); z = x¹cos(x²).

Решение.
Пусть дано тензорное поле a^ij. Вычислим его ковариантную производную:
[$8711$] (a^ij e_i e_j) = (∂a^ij/∂x^ke_i e_j + a^ij ∂ e_i/∂x^k e_j + a^ij e_i ∂ e_j/∂x^k) e^k = (∂a^ij/∂x^k + Γⁱ_mk a^mj + Γ^j_mk a^im ) e_i e_j e^k,
откуда
a^ij,_k = ∂a^ij/∂x^k + Γⁱ_mk a^mj + Γ^j_mk a^im.

Чтобы получить дивергенцию, свернем результат по индексам j = k. (Можно свернуть вместо этого по индексам i = k. Если тензор несимметричный, получится другой результат -- при взятии дивергенции нужно указывать, по какому индексу она берется):
a^ij,_j = ∂a^ij/∂x^j + Γⁱ_mj a^mj + Γ^j_mj a^im. (1)

Найдем символы Кристоффеля сферической системы координат, пользуясь данными в условиии формулами. Запишем сначала радиус-вектор:
r = xi + yj + zk = i x¹sin(x²)cos(x³) + j x¹sin(x²)sin(x³) + k x¹cos(x²).

Теперь найдем базисные векторы сферической системы координат:
e₁ = ∂r/∂x¹ = i sin(x²)cos(x³) + j sin(x²)sin(x³) + k cos(x²),
e₂ = ∂r/∂x² = i x¹cos(x²)cos(x³) + j x¹cos(x²)sin(x³) - k x¹sin(x²),
e₃ = ∂r/∂x³ = -i x¹sin(x²)sin(x³) + j x¹sin(x²)cos(x³).

Разложим производные базисных векторов по базису сферической системы координат:
∂e₁/∂x¹ = 0,
∂e₂/∂x² = -i x¹sin(x²)cos(x³) - j x¹sin(x²)sin(x³) - k x¹cos(x²) = - (1/x¹)e₁,
∂e₃/∂x³ = -i x¹sin(x²)cos(x³) - j x¹sin(x²)sin(x³) = -sin(x²) (e₁ x¹ sin(x²) + e₂ cos(x²)),
∂e₁/∂x² = ∂e₂/∂x¹ = i cos(x²)cos(x³) + j cos(x²)sin(x³) - k sin(x²) = (1/x¹)e₂,
∂e₁/∂x³ = ∂e₃/∂x¹ = -i sin(x²)sin(x³) + j sin(x²)cos(x³) = (1/x¹)e₃,
∂e₂/∂x³ = ∂e₃/∂x² = -i x¹cos(x²)sin(x³) + j x¹cos(x²)cos(x³) = ctg (x²) e₃.

Отсюда находим символы Кристоффеля как коэффициенты полученных разложений:
Γ¹₂₂ = -x¹; Γ¹₃₃ = -x¹sin²(x²); Γ²₃₃ = -sin(x²)cos(x²); Γ²₁₂ = Γ²₂₁ = Γ³₁₃ = Γ³₃₁ = 1/x¹; Γ³₃₂ = Γ³₂₃ = ctg (x²), (2)
остальные компоненты нулевые.

Окончательный результат получится подстановкой символов Кристоффеля (2) сферической системы координат в формулу (1).
Результат подстановки не выписан, т.к. он громоздкий.


Решение задачи 2.
Если входящие в формулу величины являются тензорами, достаточно проверить ее в одной системе координат -- в любой другой она будет выполняться автоматически. В евклидовом пространстве формулу достаточно проверить в ортогональных координатах. В тензорных обозначениях в ортогональных координатах формула, которую требуется доказать, запишется так:

T_j∂T_i/∂x_j = (1/2)∂(T_jT_j) + ε_sjk∂T_k/∂x_j ε_isrT_r. (1)

Используя равенство ε_sirε_sjk = δ_ijδ_rk - δ_ikδ_jr, находим:

ε_sjk∂T_k/∂x_j ε_isrT_r = - ε_sir ε_sjk ∂T_k/∂x_j T_r = - (δ_ijδ_rk - δ_ikδ_jr) ∂T_k/∂x_jT_r = -∂T_k/∂x_iT_k + ∂T_i/∂x_jT_j = -(1/2)∂(T_jT_j) + T_j∂T_i/∂x_j,

откуда легко получить (1).