Здравствуйте, STamara!

1.
Что значит, что функция непрерывно дифференцируема? То, что непрерывна её производная. Отрезок - компакт. Поэтому она равномерно непрерывна. Т.е. такое, что для любых x и t из отрезка [a,b], отстоящих друг от друга не больше чем на , .
Раз на [x,t] функция дифференцируема, то
,
где
(теорема Лагранжа).
Подставим это в формулу из условия

А это, по вышесказанному, меньше .

3.
Интересная и очень контринтуитивная задача. Например, такой ряд:
.

Здравствуйте, STamara!

3. Автором предложенной задачи является Н. Васильев. Задача была опубликована в одном из номеров журнала "Квант" за 1976 год в такой формулировке: "Может ли случиться, что ряд

сходится, а ряд

- нет?"

Авторское решение приведено ниже.

Составим ряд 1 + (-1/2) + (-1/2) + (1/2) + (-1/4) + (-1/4) + (1/2) + (-1/4) + (-1/4) + ... следующим образом: следом за суммой 1 + (-1/2) + (-1/2) поставим 2[sup]3[/sup] = 8 сумм (1/2) + (-1/4) + (-1/4), затем 3[sup]3[/sup] = 27 сумм (1/3) + (-1/6) + (-1/6), ..., n[sup]3[/sup] сумм (1/n) + (-1/(2n)) + (-1/(2n)), и так далее. Этот ряд сходится и сумма его равна нулю, поскольку сумма N первых его членов, где 3(1 + 2[sup]3[/sup] + 3[sup]3[/sup] + ... + n[sup]3[/sup]) [$8804$] N [$8804$] 3(1 + 2[sup]3[/sup] + 3[sup]3[/sup] + ... + (n + 1)[sup]3[/sup]), не больше (1/(n + 1)) (именно, она либо нуль, либо 1/(n + 1), либо 1/(2(n + 1))). Соответствующий же ему ряд из кубов расходится. Действительно сумма n[sup]3[/sup] сумм (1/n)[sup]3[/sup] + (-1/(2n))[sup]3[/sup] + (-1/(2n))[sup]3[/sup] = 3/(4n[sup]3[/sup]) равна 3/4, так что сумма первых 3(1 + 2[sup]3[/sup] + 3[sup]3[/sup] + ... + n[sup]3[/sup]) членов ряда равна 3n/4.

С уважением.