Здравствуйте, Даша!

Введём декартову прямоугольную систему координат Ox₁x₂. Построим область допустимых решений задачи, используя ограничения - неравенства, объединённые фигурной скобкой.

Неравенство x₁ [$8805$] 6 определяет множество точек, расположенных правее прямой x₁ = 6, а также саму эту прямую. Данная прямая проходит через точку (6; 0) параллельно оси Ox₂.

Неравенство 20x₁ - 3x₂ [$8804$] 525 определяет множество точек, расположенных выше прямой 20x₁ - 3x₂ = 525, а также саму эту прямую. Чтобы построить прямую, в выражении 20x₁ - 3x₂ = 525 положим x₁ = 30, тогда x₂ = 25. Положив x₂ = 45, получим x₁ = 33. Значит, прямая проходит через точки (30; 25), (33; 45).

Неравенство 5x₁ + 6x₂ [$8805$] 210 определяет множество точек, расположенных выше прямой 5x₁ + 6x₂ = 210, а также саму эту прямую. Чтобы построить прямую, в выражении 5x₁ + 6x₂ = 210 положим x₁ = 0, тогда x₂ = 35. Положив x₂ = 0, получим x₁ = 42. Значит, прямая проходит через точки (0; 35), (42; 0).

Неравенство -5x₁ + 3x₂ [$8804$] 105 определяет множество точек, расположенных ниже прямой -5x₁ + 3x₂ = 105, а также саму эту прямую. Чтобы построить прямую, в выражении -5x₁ + 3x₂ = 105 положим x₁ = 0, тогда x₂ = 35. Положив x₂ = 40, получим x₁ = 3. Значит, прямая проходит через точки (0; 35), (3; 40).

Изобразив на координатной плоскости указанные прямые, получим область допустимых решений задачи в виде четырёхугольника ABCD, вершинами которого являются точки A(6; 45), B(6; 30), C(28; 35/3), D(42; 105) (рисунок).



Для целевой функции z₁ = 10x₁ + 3x₂ изобразим опорную прямую l₁: 10x₁ + 3x₂ = 0. Вектор-градиент с[sub]1[/sub] = {10; 3}. Так как находится максимальное значение целевой функции, движемся в направлении градиента. Опорная прямая, перемещаясь в этом направлении, в последний раз касается области допустимых решений в точке D(42; 105). Поэтому (z₁)_max = 10 [$183$] 42 + 3 [$183$] 105 = 735.

Для целевой функции z₂ = 15x₁ - 6x₂ изобразим опорную прямую l₂: 15x₁ - 6x₂ = 0. Вектор-градиент с[sub]2[/sub] = {15; -6} (хотя, впрочем, можно взять и вектор {5; -2}, например). Так как находится минимальное значение целевой функции, движемся в антиградиентном направлении. Опорная прямая, перемещаясь в этом направлении, в последний раз касается области допустимых решений в точке A(6; 45). Поэтому (z₂)_min = 15 [$183$] 6 - 6 [$183$] 45 = -180.

С уважением.