Здравствуйте, G-buck!

1.

Особых точек, очевидно, три: 1, 0 и бесконечность. По очереди:

.

Это полюс(2 порядка). Хотя бы потому, что регулярна в 1 и потому в её разложении в ряд есть только главная часть. Вычет найдём просто найдя (-1) член ряда Лорана
,
.
Т.е. вычет равен .



.

Это существенно особая точка, т.к. предела(даже бесконечного) не существует. Действительно, если устремлять z к нулю вдоль действительной оси, модуль f(z) стремится к бесконечности, а если устремлять вдоль мнимой, модуль не превышает 1, а потому модуль f(z) ограничен.

Вычет просто разложением в ряд найти не получится, т.к. и дробь и экспонента дадут бесконечное число членов. Вспомним определение вычета:
,
где - положительно ориентированная малая окружность с центром в нуле.

непрерывна(и даже регулярна) в нуле, поэтому
.

Действительно, , где - некоторая регулярная в нуле функция и
и потому
.
Второй интеграл равен нулю, т.к.
,
где . Т.к. альфа стремится к нулю, при z стремящемся к нулю, мю стремится к нулю при уменьшении радиуса окружности(выражение слева от радиуса не зависит, т.к. подынтегральная функция голоморфна в нуле). Потому, левый интеграл равен нулю.


А уже интеграл от экспоненты ищем, глядя на ряд Лорана:


Т.е. искомый вычет в нуле равен 1.




.

Это устранимая особая точка, т.к. . Действительно, дробь, очевидно, стремится к нулю, экспонента тоже:

.

В том, что вычет равен нулю, можно убедиться по-честному проинтегрировав по большой окружности с центром в нуле:

, при .

Здравствуйте, G-buck!
1) Для вычисления вычета в нуле разложим функцию в ряд Лорана
1/(1-z)=1=z+z²+...+zⁿ+zⁿ⁺¹+... (геометрическая прогрессия)
Дифференцируя это равенство, находим
1/(1-z)²=1+2z+3z²+...+nz^n-1+(n+1)zⁿ+...
Показательную функцию раскладываем по таблице
e^1/z=1+(1/z)+1(2z)+1/(6z²)+....+1/(n!zⁿ)+(1/(n+1)!zⁿ⁺¹)+...
Перемножая ряды и удерживая только коэффициент при 1/z, находим
f(z)=...+[1+1+(1/2)+...+(1/(n-1)!)+(1/n!)+...]1/z+...=...+(e/z)+...
Следовательно, вычет в точке z=0 равен e.

Вычет в бесконечности находим по теореме о полной сумме вычетов (она должна быть равна нулю).
Так как вычет в точке z=1 равен -e, а в точке z=0 вычет равен e, то в бесконечности вычет равен нулю.