Консультация онлайн #185869: у меня возникли некоторые сложности с вычислением неопределённого интеграла (x^1/3)/(1+sqrt(x)) dx (кубический корень из икс делённый на е

регистрация

Лидеры рейтинга

Konstantin Shvetski

Мастер-Эксперт

958

Россия, Северодвинск

Алексеев Владимир Николаевич

Мастер-Эксперт

513

Россия, пос. Теплоозёрск, ЕАО

Михаил Александров

Академик

353

Россия, Санкт-Петербург

Megaloman

Мастер-Эксперт

311

Беларусь, Гомель

epimkin

Профессионал

191

solowey

Профессор

puporev

Профессор

Россия, Пермский край

8.1.6

02.01.2021

JS: 2.2.2
CSS: 4.2.0
jQuery: 3.5.1

• Математика

Консультации и решение задач по алгебре, геометрии, анализу, дискретной математике.

Администратор раздела: Коцюрбенко Алексей Владимирович (Старший модератор)

Коцюрбенко Алексей Владимирович

Статус: Старший модератор
Рейтинг: 2102

Михаил Александров

Статус: Академик
Рейтинг: 353

Ваша подписка: необходимо войти в систему

Перейти к консультации №:

Консультация онлайн # 185869

Раздел: • Математика
Автор вопроса: Aleksandrkib (Посетитель)
Дата: 21.04.2012, 11:29
Поступило ответов: 2

Здравствуйте! У меня возникли некоторые сложности с вычислением неопределённого интеграла

(x^1/3)/(1+sqrt(x)) dx (кубический корень из икс, делённый на единицу плюс квадратный корень из икс дэ икс).

Пытался делать подстановку, взяв за переменную t весь знаменатель, потом корень из икс, не помогло.
Как я понял, это интеграл от дифференциального бинома. Воспользовался рекомендуемыми в справочнике подстановками, интеграл упростился, но все равно не могу понять, как найти данный интеграл. Как известно, вычисление неопределённого интеграла требует изобретательности и опыта (которого у меня пока маловато). Вот и обращаюсь за помощью к опытным специалистам.
Мне главное общий ход решения, без подробных объяснений и выкладок.

Состояние: Консультация закрыта

наверх

Ответ # 270588 от Орловский Дмитрий (Мастер-Эксперт)

Здравствуйте, Aleksandrkib!
Интеграл сводится к рациональному заменой t=x^1/6. В этом случае
x^1/3=t²
x^1/2=t³
x=t⁶ ---> dx=6t⁵dt

Консультировал: Орловский Дмитрий (Мастер-Эксперт)
Дата отправки: 21.04.2012, 12:01

Рейтинг ответа:

[подробно]

Сообщение
модераторам

Отправлять сообщения
модераторам могут
только участники портала.
ВОЙТИ НА ПОРТАЛ »
регистрация »

наверх

Ответ # 270593 от Чекменёв Александр Анатольевич (Профессор)

Здравствуйте, Aleksandrkib!

Т.е. вы застопорились на моменте
.

Поделим числитель на знаменатель столбиком, чтобы привести дробь к сумме дробей, у которых степень числителя меньше степени знаменателя:
,
.

Нетривиальность есть лишь в последнем члене. Представим знаменатель в виде

и представим дробь в виде
,
где A и B - многочлены степени, не выше первой. Первую дробь можно будет проинтегрировав, выделив в знаменателе квадрат.

Консультировал: Чекменёв Александр Анатольевич (Профессор)
Дата отправки: 21.04.2012, 14:49

Рейтинг ответа:

[подробно]

Сообщение
модераторам

Отправлять сообщения
модераторам могут
только участники портала.
ВОЙТИ НА ПОРТАЛ »
регистрация »

наверх

Мини-форум консультации № 185869

Aleksandrkib Посетитель ID: 317729 1 0 [подробно]	= общий = \| 21.04.2012, 13:44 \| цитировать \| профиль \| личное сообщение Орловский Дмитрий: Здравствуйте, Дмитрий! То, что Вы описали, я к этому и пришёл. Интеграл я представил в виде x^m(a+bx^n)^p dx (интеграл от дифференциального бинома) В моём случае получилось: (x^1/3)(1+x^1/2)^(-1) dx Так как p - целое число (p=-1), то подстановка x=t^k рационализирует интеграл, k - НОК знаменателей дробей m, n; k=6. Значит, делаем подстановку x=t^6, dx=6t^5 dt. Убеждаюсь, что я сделал всё правильно. Далее, упрощая интеграл, получаю 6 умножить на неопределённый интеграл (t^7)*(1+t^3)^(-1) dt. Иначе говоря, необходимо теперь найти интеграл (t^7)/(1+t^3) dt (тэ в седьмой степени, делённое на единицу плюс тэ в кубе). Именно на этом моменте я и "застопорился". Думаю, здесь вновь нужно делать подстановку? Или есть какой-то другой метод? Некоторые подстановки пытался делать, не помогли. Подскажите, пожалуйста, что теперь нужно делать?
Лысков Игорь Витальевич Мастер-Эксперт ID: 7438 2 0 [подробно]	= общий = \| 21.04.2012, 14:45 \| цитировать \| профиль \| личное сообщение Aleksandrkib: Вот Вам следующий шаг: разделив многочлен на многочлен, получите t⁴ - t + t / (1 + t³) ===== "Если вы заметили, что вы на стороне большинства, — это верный признак того, что пора меняться." Марк Твен
Aleksandrkib Посетитель ID: 317729 3 0 [подробно]	= общий = \| 21.04.2012, 17:44 \| цитировать \| профиль \| личное сообщение Vanger, спасибо Вам за подсказку, всё остальное сделал сам. Позвольте внести небольшую поправку. Дробь мы должны представить в виде (Au+B)/(u²-u+1)+C/(u+1) Спасибо всем экспертам, оказавшим мне помощь в решении задания!!! Последнее редактирование 21.04.2012, 17:45 Aleksandrkib (Посетитель)
Чекменёв Александр Анатольевич Профессор ID: 399103 4 0 [подробно]	= общий = \| 21.04.2012, 18:00 \| цитировать \| профиль \| личное сообщение Aleksandrkib: Рад, что получилось! А насчёт поправки - так у меня и написано, что A и B - многочлены(а не числа). Что, пожалуй, несколько отличается от типичных обозначений, а потому и ввело в заблуждение. Последнее редактирование 21.04.2012, 18:19 [неизвестный]
Aleksandrkib Посетитель ID: 317729 5 0 [подробно]	= общий = \| 21.04.2012, 18:17 \| цитировать \| профиль \| личное сообщение Ах, да, простите, не заметил. Всё ясно.

наверх

Возможность оставлять сообщения в мини-форумах консультаций доступна только после входа в систему.
Воспользуйтесь кнопкой входа вверху страницы, если Вы зарегистрированы или пройдите простую процедуру регистрации на Портале.