Лидеры рейтинга

ID: 226425

Konstantin Shvetski

Мастер-Эксперт

958

Россия, Северодвинск


ID: 259041

Алексеев Владимир Николаевич

Мастер-Эксперт

513

Россия, пос. Теплоозёрск, ЕАО


ID: 401284

Михаил Александров

Академик

353

Россия, Санкт-Петербург


ID: 137394

Megaloman

Мастер-Эксперт

311

Беларусь, Гомель


ID: 400669

epimkin

Профессионал

191


ID: 400484

solowey

Профессор

71


ID: 401888

puporev

Профессор

53

Россия, Пермский край


8.1.6

02.01.2021

JS: 2.2.2
CSS: 4.2.0
jQuery: 3.5.1


 

Консультации и решение задач по алгебре, геометрии, анализу, дискретной математике.

Администратор раздела: Коцюрбенко Алексей Владимирович (Старший модератор)


Коцюрбенко Алексей Владимирович
Статус: Старший модератор
Рейтинг: 2102
Konstantin Shvetski
Статус: Мастер-Эксперт
Рейтинг: 958
Михаил Александров
Статус: Академик
Рейтинг: 353
 

Перейти к консультации №:
 

Консультация онлайн # 185869
Раздел: • Математика
Автор вопроса: Aleksandrkib (Посетитель)
Дата: 21.04.2012, 11:29
Поступило ответов: 2

Здравствуйте! У меня возникли некоторые сложности с вычислением неопределённого интеграла

(x^1/3)/(1+sqrt(x)) dx (кубический корень из икс, делённый на единицу плюс квадратный корень из икс дэ икс).

Пытался делать подстановку, взяв за переменную t весь знаменатель, потом корень из икс, не помогло.
Как я понял, это интеграл от дифференциального бинома. Воспользовался рекомендуемыми в справочнике подстановками, интеграл упростился, но все равно не могу понять, как найти данный интеграл. Как известно, вычисление неопределённого интеграла требует изобретательности и опыта (которого у меня пока маловато). Вот и обращаюсь за помощью к опытным специалистам.
Мне главное общий ход решения, без подробных объяснений и выкладок.

Состояние: Консультация закрыта

Ответ # 270588 от Орловский Дмитрий (Мастер-Эксперт)

Здравствуйте, Aleksandrkib!
Интеграл сводится к рациональному заменой t=x1/6. В этом случае
x1/3=t2
x1/2=t3
x=t6 ---> dx=6t5dt


Консультировал: Орловский Дмитрий (Мастер-Эксперт)
Дата отправки: 21.04.2012, 12:01

Рейтинг ответа:

0

[подробно]

Сообщение
модераторам

Отправлять сообщения
модераторам могут
только участники портала.
ВОЙТИ НА ПОРТАЛ »
регистрация »

Здравствуйте, Aleksandrkib!

Т.е. вы застопорились на моменте
.

Поделим числитель на знаменатель столбиком, чтобы привести дробь к сумме дробей, у которых степень числителя меньше степени знаменателя:
,
.

Нетривиальность есть лишь в последнем члене. Представим знаменатель в виде

и представим дробь в виде
,
где A и B - многочлены степени, не выше первой. Первую дробь можно будет проинтегрировав, выделив в знаменателе квадрат.


Консультировал: Чекменёв Александр Анатольевич (Профессор)
Дата отправки: 21.04.2012, 14:49

Рейтинг ответа:

0

[подробно]

Сообщение
модераторам

Отправлять сообщения
модераторам могут
только участники портала.
ВОЙТИ НА ПОРТАЛ »
регистрация »

Мини-форум консультации № 185869

Aleksandrkib

Посетитель

ID: 317729

1

= общий = |  21.04.2012, 13:44 |  цитировать |  профиль |  личное сообщение
Орловский Дмитрий:

Здравствуйте, Дмитрий!
То, что Вы описали, я к этому и пришёл.

Интеграл я представил в виде x^m*(a+bx^n)^p dx (интеграл от дифференциального бинома)
В моём случае получилось: (x^1/3)*(1+x^1/2)^(-1) dx
Так как p - целое число (p=-1), то подстановка x=t^k рационализирует интеграл, k - НОК знаменателей дробей m, n; k=6.
Значит, делаем подстановку x=t^6, dx=6t^5 dt.
Убеждаюсь, что я сделал всё правильно.

Далее, упрощая интеграл, получаю 6 умножить на неопределённый интеграл (t^7)*(1+t^3)^(-1) dt. Иначе говоря, необходимо теперь найти интеграл (t^7)/(1+t^3) dt (тэ в седьмой степени, делённое на единицу плюс тэ в кубе).
Именно на этом моменте я и "застопорился". Думаю, здесь вновь нужно делать подстановку? Или есть какой-то другой метод?
Некоторые подстановки пытался делать, не помогли.
Подскажите, пожалуйста, что теперь нужно делать?

Лысков Игорь Витальевич

Мастер-Эксперт

ID: 7438

2

= общий = |  21.04.2012, 14:45 |  цитировать |  профиль |  личное сообщение
Aleksandrkib:

Вот Вам следующий шаг: разделив многочлен на многочлен, получите t4 - t + t / (1 + t3) smile

=====
"Если вы заметили, что вы на стороне большинства, —
это верный признак того, что пора меняться." Марк Твен

Aleksandrkib

Посетитель

ID: 317729

3

= общий = |  21.04.2012, 17:44 |  цитировать |  профиль |  личное сообщение

Vanger, спасибо Вам за подсказку, всё остальное сделал сам.

Позвольте внести небольшую поправку. Дробь мы должны представить в виде

(Au+B)/(u2-u+1)+C/(u+1)

Спасибо всем экспертам, оказавшим мне помощь в решении задания!!!

Последнее редактирование 21.04.2012, 17:45 Aleksandrkib (Посетитель)

Чекменёв Александр Анатольевич

Профессор

ID: 399103

4

= общий = |  21.04.2012, 18:00 |  цитировать |  профиль |  личное сообщение
Aleksandrkib:

Рад, что получилось! А насчёт поправки - так у меня и написано, что A и B - многочлены(а не числа). Что, пожалуй, несколько отличается от типичных обозначений, а потому и ввело в заблуждение.

Последнее редактирование 21.04.2012, 18:19 [неизвестный]

Aleksandrkib

Посетитель

ID: 317729

5

= общий = |  21.04.2012, 18:17 |  цитировать |  профиль |  личное сообщение

Ах, да, простите, не заметил. Всё ясно.

Возможность оставлять сообщения в мини-форумах консультаций доступна только после входа в систему.
Воспользуйтесь кнопкой входа вверху страницы, если Вы зарегистрированы или пройдите простую процедуру регистрации на Портале.