Буквоедство это всё, конечно... Замечу, что ваше определение несколько избыточно.

На второй вопрос - легко видеть, что сужение будет периодической функцией тогда и только тогда, когда уменьшенная область определения переходит в себя при сдвигах на T.

А может ли такое быть?

Если Вы не против, остановимся на некоторых моментах Вашего ответа.

А может ли такое быть?

В терминах теории групп получается, что подмножество множества целых чисел не является группой относительно операции сложения (тривиальный случай k = 0 - единственное исключение.)

О дискретных функциях я как-то и не думал даже. Привык к континуумам.

Замечу, что область определения можно и на континуальные кусочки порезать. Но Вы и сами разобрались, наверное.

А как мы к группе целых чисел по сложению перешли? Впрочем, если что, у неё, очевидно, бесконечно много подгрупп есть. Например, чётные числа.

Например?

О теории групп я упомянул потому, что, по-моему, периоды любой функции составляют группу относительно операции сложения.

И это можно использовать как необходимое и достаточное условие периодичности.

множество всех периодов функции бесконечно (?)

Спасибо за обмен мнениями!

Синус останется периодичным, если его сузить на множество рациональных, или иррациональных чисел.

Насчет Ваших знаний - для сдачи кандидатского минимума их хватит с избытком.