Здравствуйте, Роман! Если можно, дайте, пожалуйста, некоторые пояснения по ходу решения задачи, чуть развёрнутое решение.

Рисунок построил по описанию. С уравнением окружности всё понятно.

Далее мы решаем систему уравнений: первое уравнение - уравнение окружности, второе - прямая у=х. В результате решения у меня почему-то получилось R/2 плюс минус (R/4)*корень из 10.

Должна, наверное, быть вторая система уравнений? Ведь прямая имеет две точки пересечения: с первой окружностью - одна точка, со второй окружностью - другая точка?

Не совсем понятно, как мы нашли сторону квадрата. Насколько я понимаю, найдя точки пересечения прямой и окружностей, мы должны применить формулу расстояния между двумя точками на плоскости. Этим мы найдём длину диагонали квадрата, а потом будем искать саму сторону квадрата.

Возможно, я что-то не так описал, не так понял что-то. Исправьте меня, пожалуйста.

С решением системы все в порядке - дискриминант равен 7R^2.
Вот по второй системе Ваше замечание правилоное. А сторона квадрата есть расстояние между проекциями (абсциссами) внутренних точек пересечения окружностей с прямой.

Спасибо большое Вам за решение! Внимательно разобрался с рисунком, изучил решение. Перерешал систему, нашёл ошибку. Теперь мне всё понятно)))

Срок действия вопроса истёк, однако решение задачи 1 не было приведено.

Зато есть решение задачи 2.
Эксперты имеют право ответить на любое число задач.
Поэтому и говорится постоянно, что более эффективно задавать по одной задаче.