Здравствуйте, Александр Сергеевич!

Задача 1

1. Находим площадь A₁ левого круга:
A₁ = п(3a)²/4 = 9пa²/4.

2. Находим площадь A₂ правого круга:
A₂ = п(6a)²/4 = 9пa².

Поместим начало отсчёта координат в точку касания кругов.

3. Находим координату центра тяжести левого круга:
z₁ = -3a/2.

4. Находим координату центра тяжести правого круга:
z₂ = 3a.

5. Находим координату центра тяжести сечения:
z_C = (A₁z₁ + A₂z₂)/(A₁ + A₂) = (9пa²/4 [$183$] (-3a/2) + 9пa² [$183$] 3a)/(9пa²/4 + 9пa²) = (-27пa³/8 + 27пa³)/(45пa²/4) =
= (189пa³/8)/(90пa²/8) = 189a/90 = 2,1a.

Из симметрии рассматриваемого сечения ясно, что его центр тяжести находится на оси z и вторая координата равна нулю.

Ответ: центр тяжести сечения находится на оси z на расстоянии 2,1a от точки касания кругов справа от неё.

Задача 2

Рассматриваемое сечение представляет собой совокупность двух прямоугольников. Больший из них назовём внешним, меньший - внутренним. Из симметрии сечения следует, что его центр тяжести находится в точке пересечения диагоналей внешнего прямоугольника. Проведём через центр тяжести сечения ось z₀, сонаправленно оси z.

1. Находим центробежный момент инерции J_y0z0 площади заданного сечения относительно осей y₀ и z₀. Оси z₀ и y₀ являются осями симметрии. Поэтому центробежный момент инерции площади сечения относительно этих осей J_y0z0 = 0.

2. Находим площадь A рассматриваемого сечения:
A = 4a [$183$] 6a - 3a [$183$] a = 24a² - 3a² = 21a².

3. Находим центробежный момент инерции J_yz площади заданного сечения относительно осей y и z. Расстояние от оси y₀ до оси y составляет -2a (знак "минус" поставлен потому, что переходе от оси y₀ к оси y увеличивается "отрицательная" площадь), а расстояние от оси z до оси z₀ составляет 3a. Следовательно,
J_yz = -2a [$183$] 3a [$183$] 21a² = -126a⁴.

Ответ: -126a⁴.

Задача 3

1. Находим момент инерции J_y0 площади заданного сечения относительно оси y₀. Он равен алгебраической сумме момента инерции (J₁)_y0 площади внешнего прямоугольника и момента инерции (J₂)_y0 площади внутренего прямоугольника (для их вычисления воспользуемся известными формулами):
J_y0 = (J₁)_y0 - (J₂)_y0 = 6a(4a)³/12 - a(3a)³/12 = 384a⁴/12 - 27a⁴/12 = 357a⁴/12 = 119a⁴/4.

2. Находим радиус инерции i_y0 сечения относительно оси y₀:
i_y0 = [$8730$](J_y0/A) = [$8730$]((119a⁴/4)/(21a²)) = [$8730$](119a²/48) = a[$8730$](119/48).

3. Находим момент инерции J_z0 площади заданного сечения относительно оси z₀. Он равен алгебраической сумме момента инерции (J₁)_z0 площади внешнего прямоугольника и момента инерции (J₂)_z0 площади внутренего прямоугольника (для их вычисления воспользуемся известными формулами):
J_z0 = (J₁)_z0 - (J₂)_z0 = 4a(6a)³/12 - 3a(a)³/12 = 864a⁴/12 - 3a⁴/12 = 861a⁴/12 = 287a⁴/4.

4. Находим расстояние от оси z₀ до наиболее удалённой точки сечения:
y_max = 3a.

5. 4. Находим расстояние от оси y₀ до наиболее удалённой точки сечения:
z_max = 2a.

6. Находим момент сопротивления W_z0 сечения относительно оси z₀:
W_z0 = J_z0/y_max = (287a⁴/4)/(3a) = 287a³/12 = 14,875a³.

7. Находим момент сопротивления W_y0 сечения относительно оси y₀:
W_y0 = J_y0/z_max = (119a⁴/4)/(2a) = 119a³/8 [$8776$] 23,917a³.

Из полученных в пп. 6,7 результатов следует, что наименьший осевой момент сопротивления равен 14,875a³.

Ответ: a[$8730$](119/48); 14,875a³.

С уважением.