Лидеры рейтинга
Мастер-Эксперт
944
Мастер-Эксперт
596
Академик
351
Мастер-Эксперт
308
Профессионал
292
Профессор
95
Профессор
52
8.1.6
02.01.2021
JS: 2.2.2
CSS: 4.2.0
jQuery: 3.5.1
Консультации и решение задач по алгебре, геометрии, анализу, дискретной математике.
Администратор раздела: Коцюрбенко Алексей Владимирович (Старший модератор)
|
|
Перейти к консультации №: |
|
Здравствуйте, уважаемые эксперты! Помогите, пожалуйста, разобраться в решении задачи:
Даны координаты вершины пирамиды ABCD: A(1, -4, 0), B(5, 0, -2), C(3, 7, -10), D (1, -2, 1).
Требуется:
1) записать векторы AB, AC, AD в системе орт и найти модули этих векторов.
2) найти угол между векторами AB, AC
3) найти проекцию вектора AD на вектор AB
4) найти площадь грани АВС
5) найти высоту пирамиды, проведённую из вершины С (2 способа)
6) найти объём пирамиды
7) найти каноническое уравнение прямой, проходящей через точку D перпендикулярно плоскости ABC
8) найти точки пересечения полученной прямой с плоскостью АВС и с координатными плоскостями xOy, xOz, yOz
9) найти уравнение плоскости, проходящей через точку D и C перпендикулярно плоскости АВС.
Можно краткое решение, без подробных комментариев. Думаю, разберусь сам. Для меня главное - формулы, общие методы решения.
В рамках данного вопроса хотелось бы просто уточнить (это из другой задачи, как решать, знаю, но чуть сомневаюсь). Если, например, вектор a=i-5j+2k, это значит, что его координаты (1, -5, 2)?
Состояние: Консультация закрыта
Здравствуйте, Aleksandrkib!
1. АВ=4i+4j-2k
AC=2i+11j-10k
AD=0i+2j+1k
(находятся вычитание из координат конца, координат начала)
lABl=sqrt(16+16+4)=6
lACl=sqrt(4+121+100)=15
lADl=sqrt(0+4+1)=sqrt(5)
(корень из суммы квадратов координат)
sqrt-это обозначение квадратного корня
2. cos(AB^AC)=(x1*x2+y1*y2+z1*z2)/(lABl*lACl)
cos(AB^AC)=(8+44+20)/(6*15)=72/90=8/10
угол AB^AC=arccos(8/10)
3. Проекция находится по формуле lADl*cos(fi), fi-угол между векторами
cos(fi)=(0*4+2*4-2)/(6*sqrt(5))=1/sqrt(5)
Пр.=sqrt(5)*cos(fi)=1
4.S=(ABxAC)/2
то есть нужно найти определитель матрицы
i j k
4 4 -2
2 11 -10
и разделить его на 2
получаем что (-40+22)i-(-40+4)j+(44-8)k=-18i+36j+36k
находим длину вектора sqrt(324+1296+1296)=54
S=54/2=27 кв.ед
 |
Консультировал: Дмитрий Сергеевич Дата отправки: 21.11.2011, 19:42 |
Рейтинг ответа:
0 Сообщение модераторам Отправлять сообщения |
Здравствуйте, Aleksandrkib!
Решение 7 в прикрепленном файле.
-----
Прикрепленное изображение (кликните по картинке для увеличения):
|
|
Консультировал: Орловский Дмитрий (Мастер-Эксперт) Дата отправки: 21.11.2011, 21:10 |
Рейтинг ответа:
0 Сообщение модераторам Отправлять сообщения |
Здравствуйте, Aleksandrkib!
5. Первый способ - воспользоваться известной формулой объёма пирамиды:
откуда
где S - площадь основания пирамиды, на которое опущена высота. В данном случае объём пирамиды уже был найден в задании 6 (18 куб.ед.), площадь же грани ABD можно найти аналогично заданию 4 по формуле:
Тогда высота пирамиды составит h = 3·18/6 = 9.
Другой способ - воспользоваться тем, что высота есть кратчайшее расстояние от точки до плоскости основания. Расстояние от точки (x,y,z) до плоскости Ax+By+Cz+D=0 определяется формулой:
Найдём уравнение плоскости ABD, воспользовавшись тем, что для любой точки M(x, y, z), принадлежащей плоскости, вектора AM, AB и AD будут компланарными (лежать в одной плоскости), то есть их смешанное произведение будет равно 0:
Тогда расстояние от точки C(3,7,-10) до плоскости 2x-y+2z-6=0 будет равно:
6. Если пирамида построена на трёх векторах a, b, c, имеющих общее начало, то её объём равен
Нам уже известны вектора AB = {4,4,-2}, AC = {2,11,-10} и AD = {0,2,1}, поэтому
7. Сперва найдём уравнение плоскости ABC. Воспользуемся тем, что для любой точки M(x, y, z), принадлежащей плоскости, вектора AM, AB и AC будут компланарными (лежать в одной плоскости), то есть их смешанное произведение будет равно 0:
Вектор {1,-2,-2} является нормальным вектором плоскости ABC, следовательно, для прямой, перпендикулярной этой плоскости, он будет направляющим. Учитывая, что она проходит через точку D(1,-2,1), можно записать её каноническое уравнение:
8. Чтобы найти точку пересечения прямой и плоскости, запишем уравнение прямой в параметрическом виде:
и подставим получившиеся значения в уравнение плоскости. Получим
Подставляя в уравнение прямой, получаем x = 5/3, y = -10/3, z = -1/3, то есть точка пересечения прямой и плоскости - (5/3,-10/3,-1/3).
Для точки пересечения с координатной плоскостью xOy, очевидно, z = 0, то есть
откуда получаем координаты точки пересечения - (3/2,-3,0). Аналогично, для xOz y = 0 и 
откуда точка пересечения - (0,0,3). Она же, очевидно, является и точкой пересечения с yOz.
9. Если точка M(x, y, z) принадлежит искомой плоскости, то вектора CM, CD и нормальный вектор плоскости ABC (перпендикулярной искомой) будут компланарны, то есть их смешанное произведение будет равно 0 (аналогично заданию 7):
|
|
Консультировал: Коцюрбенко Алексей Владимирович (Старший модератор) Дата отправки: 21.11.2011, 21:29 |
Рейтинг ответа:
0 Сообщение модераторам Отправлять сообщения |
|
Специалист ID: 17387
0
|
Лысков Игорь Витальевич: Здравствуйте, Игорь Витальевич! ===== |
|
Специалист ID: 17387
0
|
Aleksandrkib: Цитата: Если, например, вектор a=i-5j+2k, это значит, что его координаты (1, -5, 2)? Да.  ===== |
|
Мастер-Эксперт ID: 7438
0
|
Гордиенко Андрей Владимирович: Цитата: все девять пунктов задания - неразрывны Все-таки, самое главное то, что посетитель получил ответы. ===== |
|
Специалист ID: 17387
0
|
Орловский Дмитрий, Коцюрбенко Алексей Владимирович: Уважаемые авторы ответов! Последнее редактирование 22.11.2011, 08:04 Гордиенко Андрей Владимирович (Специалист) ===== |
|
Коцюрбенко Алексей Владимирович
Старший модератор ID: 312929
0
|
Гордиенко Андрей Владимирович: Могу дополнить свой ответ решением задачи 5 двумя способами и, с вашего позволения, правильным решением задачи 6 (в ответе эксперта Полина, увы, неправильно вычислен определитель, а полученное значение объёма можно использовать в решении задачи 5). |
|
Мастер-Эксперт ID: 7438
0
|
Коцюрбенко Алексей Владимирович: Речь идет именно о подобных случаях. ===== |
|
Мастер-Эксперт ID: 7438
0
|
Коцюрбенко Алексей Владимирович: Что ж, придется ответ Полины удалить... ===== |
|
Специалист ID: 17387
0
|
Коцюрбенко Алексей Владимирович, Лысков Игорь Витальевич:
===== |
|
Посетитель ID: 317729
0
|
Aleksandrkib: Уважаемые эксперты! Огромное спасибо всем за решение! С решением почти уже разобрался, всё понятно. За одно немного вспомнил элементы векторной алгебры, когда-то изучаемой в колледже и институте. |
Возможность оставлять сообщения в мини-форумах консультаций доступна только после входа в систему.
Воспользуйтесь кнопкой входа вверху страницы, если Вы зарегистрированы или пройдите простую процедуру регистрации на Портале.
