Здравствуйте, Aleksandrkib!
1. АВ=4i+4j-2k
AC=2i+11j-10k
AD=0i+2j+1k
(находятся вычитание из координат конца, координат начала)

lABl=sqrt(16+16+4)=6
lACl=sqrt(4+121+100)=15
lADl=sqrt(0+4+1)=sqrt(5)
(корень из суммы квадратов координат)

sqrt-это обозначение квадратного корня

2. cos(AB^AC)=(x1*x2+y1*y2+z1*z2)/(lABl*lACl)
cos(AB^AC)=(8+44+20)/(6*15)=72/90=8/10
угол AB^AC=arccos(8/10)

3. Проекция находится по формуле lADl*cos(fi), fi-угол между векторами
cos(fi)=(0*4+2*4-2)/(6*sqrt(5))=1/sqrt(5)
Пр.=sqrt(5)*cos(fi)=1

4.S=(ABxAC)/2
то есть нужно найти определитель матрицы
i j k
4 4 -2
2 11 -10

и разделить его на 2

получаем что (-40+22)i-(-40+4)j+(44-8)k=-18i+36j+36k
находим длину вектора sqrt(324+1296+1296)=54
S=54/2=27 кв.ед

Здравствуйте, Aleksandrkib!
Решение 7 в прикрепленном файле.

Здравствуйте, Aleksandrkib!

5. Первый способ - воспользоваться известной формулой объёма пирамиды:



откуда



где S - площадь основания пирамиды, на которое опущена высота. В данном случае объём пирамиды уже был найден в задании 6 (18 куб.ед.), площадь же грани ABD можно найти аналогично заданию 4 по формуле:



Тогда высота пирамиды составит h = 3·18/6 = 9.

Другой способ - воспользоваться тем, что высота есть кратчайшее расстояние от точки до плоскости основания. Расстояние от точки (x,y,z) до плоскости Ax+By+Cz+D=0 определяется формулой:



Найдём уравнение плоскости ABD, воспользовавшись тем, что для любой точки M(x, y, z), принадлежащей плоскости, вектора AM, AB и AD будут компланарными (лежать в одной плоскости), то есть их смешанное произведение будет равно 0:









Тогда расстояние от точки C(3,7,-10) до плоскости 2x-y+2z-6=0 будет равно:



6. Если пирамида построена на трёх векторах a, b, c, имеющих общее начало, то её объём равен



Нам уже известны вектора AB = {4,4,-2}, AC = {2,11,-10} и AD = {0,2,1}, поэтому



7. Сперва найдём уравнение плоскости ABC. Воспользуемся тем, что для любой точки M(x, y, z), принадлежащей плоскости, вектора AM, AB и AC будут компланарными (лежать в одной плоскости), то есть их смешанное произведение будет равно 0:









Вектор {1,-2,-2} является нормальным вектором плоскости ABC, следовательно, для прямой, перпендикулярной этой плоскости, он будет направляющим. Учитывая, что она проходит через точку D(1,-2,1), можно записать её каноническое уравнение:



8. Чтобы найти точку пересечения прямой и плоскости, запишем уравнение прямой в параметрическом виде:



и подставим получившиеся значения в уравнение плоскости. Получим







Подставляя в уравнение прямой, получаем x = 5/3, y = -10/3, z = -1/3, то есть точка пересечения прямой и плоскости - (5/3,-10/3,-1/3).

Для точки пересечения с координатной плоскостью xOy, очевидно, z = 0, то есть



откуда получаем координаты точки пересечения - (3/2,-3,0). Аналогично, для xOz y = 0 и



откуда точка пересечения - (0,0,3). Она же, очевидно, является и точкой пересечения с yOz.

9. Если точка M(x, y, z) принадлежит искомой плоскости, то вектора CM, CD и нормальный вектор плоскости ABC (перпендикулярной искомой) будут компланарны, то есть их смешанное произведение будет равно 0 (аналогично заданию 7):