Лидеры рейтинга

ID: 226425

Konstantin Shvetski

Мастер-Эксперт

944

Россия, Северодвинск


ID: 259041

Алексеев Владимир Николаевич

Мастер-Эксперт

596

Россия, пос. Теплоозёрск, ЕАО


ID: 401284

Михаил Александров

Академик

351

Россия, Санкт-Петербург


ID: 137394

Megaloman

Мастер-Эксперт

308

Беларусь, Гомель


ID: 400669

epimkin

Профессионал

292


ID: 400484

solowey

Профессор

95


ID: 401888

puporev

Профессор

52

Россия, Пермский край


8.1.6

02.01.2021

JS: 2.2.2
CSS: 4.2.0
jQuery: 3.5.1


 

Консультации и решение задач по алгебре, геометрии, анализу, дискретной математике.

Администратор раздела: Коцюрбенко Алексей Владимирович (Старший модератор)


Коцюрбенко Алексей Владимирович
Статус: Старший модератор
Рейтинг: 2130
Konstantin Shvetski
Статус: Мастер-Эксперт
Рейтинг: 944
Михаил Александров
Статус: Академик
Рейтинг: 351
 

Перейти к консультации №:
 

Консультация онлайн # 184516
Раздел: • Математика
Автор вопроса: Aleksandrkib (Посетитель)
Дата: 21.11.2011, 19:00
Поступило ответов: 3

Здравствуйте, уважаемые эксперты! Помогите, пожалуйста, разобраться в решении задачи:
Даны координаты вершины пирамиды ABCD: A(1, -4, 0), B(5, 0, -2), C(3, 7, -10), D (1, -2, 1).
Требуется:
1) записать векторы AB, AC, AD в системе орт и найти модули этих векторов.
2) найти угол между векторами AB, AC
3) найти проекцию вектора AD на вектор AB
4) найти площадь грани АВС
5) найти высоту пирамиды, проведённую из вершины С (2 способа)
6) найти объём пирамиды
7) найти каноническое уравнение прямой, проходящей через точку D перпендикулярно плоскости ABC
8) найти точки пересечения полученной прямой с плоскостью АВС и с координатными плоскостями xOy, xOz, yOz
9) найти уравнение плоскости, проходящей через точку D и C перпендикулярно плоскости АВС.

Можно краткое решение, без подробных комментариев. Думаю, разберусь сам. Для меня главное - формулы, общие методы решения.

В рамках данного вопроса хотелось бы просто уточнить (это из другой задачи, как решать, знаю, но чуть сомневаюсь). Если, например, вектор a=i-5j+2k, это значит, что его координаты (1, -5, 2)?

Состояние: Консультация закрыта

Ответ # 268847 от Дмитрий Сергеевич

Здравствуйте, Aleksandrkib!
1. АВ=4i+4j-2k
AC=2i+11j-10k
AD=0i+2j+1k
(находятся вычитание из координат конца, координат начала)

lABl=sqrt(16+16+4)=6
lACl=sqrt(4+121+100)=15
lADl=sqrt(0+4+1)=sqrt(5)
(корень из суммы квадратов координат)

sqrt-это обозначение квадратного корня

2. cos(AB^AC)=(x1*x2+y1*y2+z1*z2)/(lABl*lACl)
cos(AB^AC)=(8+44+20)/(6*15)=72/90=8/10
угол AB^AC=arccos(8/10)

3. Проекция находится по формуле lADl*cos(fi), fi-угол между векторами
cos(fi)=(0*4+2*4-2)/(6*sqrt(5))=1/sqrt(5)
Пр.=sqrt(5)*cos(fi)=1

4.S=(ABxAC)/2
то есть нужно найти определитель матрицы
i j k
4 4 -2
2 11 -10

и разделить его на 2

получаем что (-40+22)i-(-40+4)j+(44-8)k=-18i+36j+36k
находим длину вектора sqrt(324+1296+1296)=54
S=54/2=27 кв.ед


Консультировал: Дмитрий Сергеевич
Дата отправки: 21.11.2011, 19:42

Рейтинг ответа:

0

[подробно]

Сообщение
модераторам

Отправлять сообщения
модераторам могут
только участники портала.
ВОЙТИ НА ПОРТАЛ »
регистрация »

Ответ # 268852 от Орловский Дмитрий (Мастер-Эксперт)

Здравствуйте, Aleksandrkib!
Решение 7 в прикрепленном файле.

-----
Прикрепленное изображение (кликните по картинке для увеличения):


Консультировал: Орловский Дмитрий (Мастер-Эксперт)
Дата отправки: 21.11.2011, 21:10

Рейтинг ответа:

0

[подробно]

Сообщение
модераторам

Отправлять сообщения
модераторам могут
только участники портала.
ВОЙТИ НА ПОРТАЛ »
регистрация »

Здравствуйте, Aleksandrkib!

5. Первый способ - воспользоваться известной формулой объёма пирамиды:



откуда



где S - площадь основания пирамиды, на которое опущена высота. В данном случае объём пирамиды уже был найден в задании 6 (18 куб.ед.), площадь же грани ABD можно найти аналогично заданию 4 по формуле:



Тогда высота пирамиды составит h = 3·18/6 = 9.

Другой способ - воспользоваться тем, что высота есть кратчайшее расстояние от точки до плоскости основания. Расстояние от точки (x,y,z) до плоскости Ax+By+Cz+D=0 определяется формулой:



Найдём уравнение плоскости ABD, воспользовавшись тем, что для любой точки M(x, y, z), принадлежащей плоскости, вектора AM, AB и AD будут компланарными (лежать в одной плоскости), то есть их смешанное произведение будет равно 0:









Тогда расстояние от точки C(3,7,-10) до плоскости 2x-y+2z-6=0 будет равно:



6. Если пирамида построена на трёх векторах a, b, c, имеющих общее начало, то её объём равен



Нам уже известны вектора AB = {4,4,-2}, AC = {2,11,-10} и AD = {0,2,1}, поэтому



7. Сперва найдём уравнение плоскости ABC. Воспользуемся тем, что для любой точки M(x, y, z), принадлежащей плоскости, вектора AM, AB и AC будут компланарными (лежать в одной плоскости), то есть их смешанное произведение будет равно 0:









Вектор {1,-2,-2} является нормальным вектором плоскости ABC, следовательно, для прямой, перпендикулярной этой плоскости, он будет направляющим. Учитывая, что она проходит через точку D(1,-2,1), можно записать её каноническое уравнение:



8. Чтобы найти точку пересечения прямой и плоскости, запишем уравнение прямой в параметрическом виде:



и подставим получившиеся значения в уравнение плоскости. Получим







Подставляя в уравнение прямой, получаем x = 5/3, y = -10/3, z = -1/3, то есть точка пересечения прямой и плоскости - (5/3,-10/3,-1/3).

Для точки пересечения с координатной плоскостью xOy, очевидно, z = 0, то есть



откуда получаем координаты точки пересечения - (3/2,-3,0). Аналогично, для xOz y = 0 и



откуда точка пересечения - (0,0,3). Она же, очевидно, является и точкой пересечения с yOz.

9. Если точка M(x, y, z) принадлежит искомой плоскости, то вектора CM, CD и нормальный вектор плоскости ABC (перпендикулярной искомой) будут компланарны, то есть их смешанное произведение будет равно 0 (аналогично заданию 7):






Консультировал: Коцюрбенко Алексей Владимирович (Старший модератор)
Дата отправки: 21.11.2011, 21:29

Рейтинг ответа:

0

[подробно]

Сообщение
модераторам

Отправлять сообщения
модераторам могут
только участники портала.
ВОЙТИ НА ПОРТАЛ »
регистрация »

Мини-форум консультации № 184516

Гордиенко Андрей Владимирович

Специалист

ID: 17387

1

= общий = |  21.11.2011, 21:45 |  цитировать |  профиль |  личное сообщение
Лысков Игорь Витальевич:

Здравствуйте, Игорь Витальевич!

На мой взгляд, все девять пунктов задания - неразрывны. То есть эксперт, начавший решение задачи, должен довести его до конца. Решение должно включать ответы на все девять пунктов.

Что по этому поводу думаете Вы?

С уважением.

=====
Facta loquuntur.

Гордиенко Андрей Владимирович

Специалист

ID: 17387

2

= общий = |  21.11.2011, 21:47 |  цитировать |  профиль |  личное сообщение
Aleksandrkib:

Цитата:
Если, например, вектор a=i-5j+2k, это значит, что его координаты (1, -5, 2)?

Да. smile

=====
Facta loquuntur.

Лысков Игорь Витальевич

Мастер-Эксперт

ID: 7438

3

= общий = |  21.11.2011, 23:17 |  цитировать |  профиль |  личное сообщение
Гордиенко Андрей Владимирович:

Цитата:
все девять пунктов задания - неразрывны
В общем-то, да. Хотелось бы, чтобы в таком случае был один ответ. Это так. Но раз уж даны несколько, так уж и будет...
Все-таки, самое главное то, что посетитель получил ответы.

=====
"Если вы заметили, что вы на стороне большинства, —
это верный признак того, что пора меняться." Марк Твен

Гордиенко Андрей Владимирович

Специалист

ID: 17387

4

= общий = |  22.11.2011, 07:57 |  цитировать |  профиль |  личное сообщение
Орловский Дмитрий, Коцюрбенко Алексей Владимирович:

Уважаемые авторы ответов!

Пользуясь правами модератора портала, обращаю ваше внимание на нежелательность в случаях, подобных данному, "коллективного" подхода к решению задачи. Задание состоит из девяти пунктов, неразрывно связанных между собой. На все девять пунктов задания должен даваться ответ в рамках одного решения. Эксперт, начавший решать задачу, должен довести её решение до конца.

Мы можем обсудить, если кто-то не согласен со мной, ситуацию в отдельной ветке форума портала. Для этого можно оставить сообщение в данном мини-форуме, инициировав такое обсуждение. Но прошу хорошо подумать, прежде чем делать это, чтобы не тратить ваше и моё время попусту.

Кстати, кто из вас берётся продемонстрировать два способа решения в пункте 5 задачи, дополнив свой имеющийся ответ? Появления ещё одного автора ответа в данной консультации я не допущу.

С уважением. smile

Последнее редактирование 22.11.2011, 08:04 Гордиенко Андрей Владимирович (Специалист)

=====
Facta loquuntur.

Коцюрбенко Алексей Владимирович

Старший модератор

ID: 312929

5

= общий = |  22.11.2011, 14:41 |  цитировать |  профиль |  личное сообщение
Гордиенко Андрей Владимирович:

Могу дополнить свой ответ решением задачи 5 двумя способами и, с вашего позволения, правильным решением задачи 6 (в ответе эксперта Полина, увы, неправильно вычислен определитель, а полученное значение объёма можно использовать в решении задачи 5).

Что касается "коллективного" подхода, он может быть нежелательным только в подобных случаях (когда несколько заданий объединены общими начальными данными, и результат решения одного может быть использован при решении другого). Возможно, эксперту, первым разместившему решение хотя бы части заданий, должно предоставляться преимущественное право и на решение остальных заданий (за этим могут проследить модераторы). Но в интересах автора вопроса не следует делать это ограничение абсолютным: другие эксперты должны иметь право продолжить ответ, если первый эксперт явно сообщит о своём отказе или в случае его долгого (опять-таки, на усмотрение модераторов) молчания.

Лысков Игорь Витальевич

Мастер-Эксперт

ID: 7438

6

= общий = |  22.11.2011, 14:52 |  цитировать |  профиль |  личное сообщение
Коцюрбенко Алексей Владимирович:

Речь идет именно о подобных случаях.
Никто и не делает ограничение абсолютным. Вы все правильно говорите smile

=====
"Если вы заметили, что вы на стороне большинства, —
это верный признак того, что пора меняться." Марк Твен

Лысков Игорь Витальевич

Мастер-Эксперт

ID: 7438

7

= общий = |  22.11.2011, 14:58 |  цитировать |  профиль |  личное сообщение
Коцюрбенко Алексей Владимирович:

Что ж, придется ответ Полины удалить...

=====
"Если вы заметили, что вы на стороне большинства, —
это верный признак того, что пора меняться." Марк Твен

Гордиенко Андрей Владимирович

Специалист

ID: 17387

8

= общий = |  22.11.2011, 15:58 |  цитировать |  профиль |  личное сообщение
Коцюрбенко Алексей Владимирович, Лысков Игорь Витальевич:


Я думаю, что, к сожалению, запрет на коллективное решение подобных задач должен быть абсолютным. smile

Спасибо Вам, Алексей, за решённый пункт 5. smile smile

=====
Facta loquuntur.

Aleksandrkib

Посетитель

ID: 317729

9

= общий = |  22.11.2011, 16:41 |  цитировать |  профиль |  личное сообщение
Aleksandrkib:

Уважаемые эксперты! Огромное спасибо всем за решение! С решением почти уже разобрался, всё понятно. За одно немного вспомнил элементы векторной алгебры, когда-то изучаемой в колледже и институте.

Возможность оставлять сообщения в мини-форумах консультаций доступна только после входа в систему.
Воспользуйтесь кнопкой входа вверху страницы, если Вы зарегистрированы или пройдите простую процедуру регистрации на Портале.