Здравствуйте, Aleksandrkib!
1) Найдем определить матрицы, строки которой составляют координаты первых трех векторов 1*1*3-1*(-2)*1=3+2=5.
Используя матричный метод (или Крамера, или Гаусса), можно найти, что корни трех уравнений равны 0. Это означает, что эти векторы формируют базис. Ранг матрицы равен 3, поскольку векторы линейно-независимы.
2) Найдем координаты вектора d в этом базисе, записав 3 уравнения с 3 неизвестными

1*k1 +0*k2+1*k3=2 1*k1 +0*k2+1*k3=2 1*k1 +1*k2+0*k3=-1 1*k1 +0*k2+0*k3=-3
1*k1+1*k2+0*k3=-1 <=> 0*k1+1*k2-1*k3=-3 <=> 0*k1+1*k2-1*k3=-3 <=> 0*k1+1*k2+0*k3= 2
0*k1-2*k2+3*k3=11 0*k1-2*k2+3*k3=11 0*k1+0*k2+1*k3=5 0*k1+0*k2+1*k3=5

В результате получаем, что вектор d определяется в базисе векторов a, b, c как (-3, 2, 5).

Здравствуйте, Aleksandrkib!
Чтобы доказать что вектора образуют базис, нужно показать, что вектора линейно независимы, т.е. det[$8800$]0
в нашем случае это именно так (если надо подробнее могу расписать определение детерминанта
det([table]
[row][col] 1[/col][col]1 [/col][col]0 [/col][/row]
[row][col] 0[/col][col] 1[/col][col] -2[/col][/row]
[row][col] 1[/col][col] 0[/col][col] 3[/col][/row]
[/table])[$8800$]0)

Чтобы найти координаты вектора d в этом базисе запишем уравнение
x1(a(вектор))+x2(b(вектор))+x3(c(вектор))=d(вектор)
получается система уравнений
1*x1+0*x2+1*X3=2
1*x1+1*x2+0*X3=2
0*x1+(-2)*x2+3*X3=2

решив которую получаем
x1=-3
x2=2
x3=5
(решал методом Гаусса, если надо более подробно расписать, скажите)
в итоге получили вектор d(-3,2,5) в базисе {a,b,c}


Если надо более подробные объяснения, обращайтесь.

Здравствуйте, Aleksandrkib!

Для того, чтобы успешно решать подобные задачи, желательно не просто освоить стандартные процедуры, но и уяснить смысл самой задачи и способа её решения. Позволю себе поэтому дополнить предыдущие ответы.

Показать, что векторы a, b, c образуют базис в трёхмерном пространстве, - значит показать, что эти векторы некомпланарны, т. е. не лежат в одной плоскости. Поскольку, например, векторы a и b лежат в одной плоскости, то вектор c не лежит в этой плоскости, если он не представим в виде линейной комбинации векторов a и b, т. е. если не существует чисел [$945$], [$946$], таких, что c = [$945$]a + [$946$]b. А это значит, что координаты вектора c невозможно представить в виде линейной комбинации соответствующих координат векторов a и b.

В нашем случае последнее утверждение означает, что система уравнений
1[$945$] + 0[$946$] = 1,
1[$945$] + 1[$946$] = 0,
0[$945$] - 2[$946$] = 3
не имеет решений.

В самом деле, из первого уравнения этой системы получаем, что [$945$] = 1; из третьего уравнения системы получаем, что [$946$] = -3/2. Если подставить найденные значения [$945$] и [$946$] во второе уравнение системы, то получим, что 1[$945$] + 1[$946$] = 1 - 3/2 = -1/2 [$8800$] 0. Значит, вектор c не является линейной комбинацией векторов a и b, эти три вектора не лежат в одной плоскости, являясь некомпланарными, и образуют базис. Заметим, что если бы вектор c имел координаты (1; -1/2; 3) то он был бы линейной комбинацией векторов a и b: c = a - (3/2)b. В этом случае все три вектора были бы расположены в одной плоскости, являясь компланарными, и не образовывали бы базис. Поэтому выяснить, образуют ли три вектора базис в трёхмерном пространстве, можно и не вычисляя определитель системы уравнений, как это предложено в предшествующих ответах. Впрочем, никакой ошибки в ответе на этот вопрос с использованием определителя, тоже нет.

Некомпланарность векторов при помощи определителя устанавливается на том основании, что если одна из строк определителя является линейной комбинацией двух других, то определитель равен нулю. Если же определитель нулю не равен, то ни одна из строк линейной комбинацией двух других не является. Соответственно делается вывод и в отношении векторов.

Если три вектора a, b, c образуют базис в трёхмерном пространстве, то любой трёхмерный вектор d является их линейной комбинацией, т. е. d = [$945$]a + [$946$]b + [$947$]c. Чтобы найти коэффициенты [$945$], [$946$], [$947$], необходимо решить систему уравнений, которая отражает факт линейной зависимости координат вектора d от соответствующих координат вектора c:
1[$945$] + 0[$946$] + 1[$947$] = 2,
1[$945$] + 1[$946$] + 0[$947$] = -1,
0[$945$] - 2[$946$] + 3[$947$] = 11.

Решить эту систему можно многими способами. В частности способ Крамера влечёт за собой необходимость вычисления четырёх определителей третьего порядка, что довольно-таки трудоёмко и чревато возможностью ошибиться. Однако при решении практических задач в подобных случаях применение этого метода облегчается использованием электронных таблиц MS Excel. Для данной задачи вычисления приведены здесь.

Как видно из вычислений, d = -3a + 2b + 5c = (-3; 2; 5).

С уважением.