Консультация онлайн # 183927

Раздел: Статистика и теория вероятностей
Автор вопроса: Посетитель - 380186
Дата: 28.08.2011, 09:01 Консультация неактивна
Поступило ответов: 2
Здравствуйте, уважаемые эксперты! Прошу вас помочь решить мне задачу.
Случайная величина Х задана непрерывной функцией распределения F(x), найти коэффициент к, плотность распределения вероятностей f(x), математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение величины Х. А так же построить графики функций F(x) и f(x)

f(x) = 0 при x<=0
kx^2 при 0<x<=m
1 при x>m

m=7

Если не трудно, напишите, какие формулы вы используете для решения этой задачи, я хочу понять, как ее решать.
Последнее редактирование 28.08.2011, 09:58 Роман Селиверстов (Советник)
Исправлены грамматические ошибки
Здравствуйте, Посетитель - 380186!
Для нахождения коэффициента k используем свойтво непрерывности слева функции распределения, то есть в точке х=7 kx^2=49k=1, откуда k=1/49.
f(x)=F'(x)=2x/49 при 0<x<7 и f(x)=0 при x<=0, x>7
Математическое ожидание:

Дисперсия:

Cреднее квадратическое отклонение:

Роман Селиверстов

Советник
28.08.2011, 09:44
5
Cпасибо за помощь в решении задачи!

Ответ # 2, Абаянцев Юрий Леонидович aka Ayl (Посетитель)

Здравствуйте, Посетитель - 380186!

1. Определяем коэффициент k для функции распределения.

Задано, что при x<0 F(x) равна 0, а при x>m F(x) равна 1.
Также задано, что функция распределения непрерывна и на отрезке [0; m] равна kx2.

Отсюда следует, что F(0) = 0, а F(m) = 1.
F(m) = km2 = 1 <=> k = 1/m2.

Т.к. по условию m=7, то коэффициент k равен 1/49, а функция распределения на отрезке [0; 7] имеет вид 1/49*x2

2. Определяем плотность распределения f(x)

f(x) = F'(x)dx

Т.к. F(x) равна константам на всей числовой оси, за исключением отрезка [0; 7], то f(x) на этих участках будет равна 0.
Для отрезка [0; 7] имеем: F'(x)dx = ((1/49)*x2)' = 1/49*(2*x) = 2x/49

Т.о., формула плотности распределения вероятности может быть представлена следующим образом:



Т.к. кроме отрезка [0; 7] f(x) равна 0, то при всех дальнейших вычислениях я буду сразу же ограничивать область определения до этого отрезка.

3. Математическое ожидание (M[x]) определяется через плотность вероятности как

Отсюда имеем:


4. Дисперсия (D[x]) определяется как M[x2] - (M[x])2

Отсюда имеем:
D[x] = M[x2] - (M[x])2 = (72/2)-(2*7/3)2 = 49/18

5. Среднеквадратическое отклонение определяется как квадратный корень из дисперсии.
Соответственно,


Абаянцев Юрий Леонидович aka Ayl

Посетитель
28.08.2011, 09:58
5
Большое спасибо, благодаря вам разобрался как решать эту задачу!

Мини-форум консультации # 183927


Нет сообщений в мини-форуме
Возможность оставлять сообщения в мини-форумах консультаций доступна только после входа в систему.
Воспользуйтесь кнопкой входа вверху страницы, если Вы зарегистрированы или пройдите простую процедуру регистрации на Портале.