Главная Вход в систему Регистрация
Задать вопрос Консультации Пользователи Форум
О системе Помощь
Задать вопрос экспертам
Консультация № 183862
12.08.2011, 18:03
51.94 руб.
0 5 2
Образование
Здравствуйте, уважаемые эксперты! Прошу вас ответить на следующий вопрос:В круге случайно выбирается точка.Какова вероятность того,что расстояние от нее до центра круга будет меньше половины радиуса? Больше половины радиуса? Равно половине радиуса? Заранее благодарен.

Обсуждение

Неизвестный
12.08.2011, 18:54
общий
это ответ
Здравствуйте, Тимофеев Алексей Валентинович!

Пусть R - радиус круга.

ГМТ, расстояние от которых до центра круга будет меньше половины радиуса, есть круг с радиусом R/2.
ГМТ, расстояние от которых до центра круга будет больше половины радиуса, есть кольцо с радиусами R/2 и R.
ГМТ, расстояние от которых до центра круга будет равно половине радиуса, есть окружность с радиусом R/2.

Тогда площадь круга SR равна , площадь круга с радиусом R/2 (SR/2) - , площадь кольца с радиусами R/2 и R (SD) - .

Вероятность того, что расстояние от точки до центра круга будет меньше половины радиуса, равна отношению площадей кругов с радиусами R/2 и R:
P(X<R/2) = SR/2/SR = 1/4

Вероятность того, что расстояние от точки до центра круга будет больше половины радиуса, равна отношению площади кольца с радиусами R/2 и R к площади круга с радиусом R:
P(X<R/2) = SD/SR = 3/4

Вероятность того, что расстояние от точки до центра круга будет равно половине радиуса, равна отношению площади окружности с радиусом R/2 к площади круга с радиусом R:
P(X<R/2) = 0/SR = 0
5
давно
Гордиенко Андрей Владимирович
Мастер-Эксперт
17387
18345
12.08.2011, 19:05
общий
это ответ
Здравствуйте, Тимофеев Алексей Валентинович!

Думаю, что задача решается с привлечением понятия геометрической вероятности. Как известно, если в некоторой области G случайным образом выбирается точка, то вероятность P(A) того, что точка окажется в части g этой области, определяется по формуле
P(A)=mes(g)/mes(G),
где mes(g) и mes(G) - меры областей, в данном случае площади.

Чтобы расстояние от центра круга до точки было меньше половины радиуса R заданного круга, необходимо, чтобы точка попала в концентричный рассматриваемому круг с радиусом r = R/2, исключая его границу. Тогда mes(g)=пR2/4, mes(G)=пR2, а соответствующая вероятность составляет
P(A)=(пR2/4)/(пR2)=1/4.

Чтобы расстояние от центра круга до точки было равно половине радиуса, необходимо, чтобы точка попала на границу концентричного рассматриваемому круга. Тогда mes(g)=0, и соответствующая вероятность тоже равна нулю.

Соответственно, вероятность того, что расстояние от центра круга до точки больше половины радиуса, составляет
P(A)=1-1/4=3/4.

С уважением.
5
Об авторе:
Facta loquuntur.
давно
Тимофеев Алексей Валентинович
Профессионал
304951
93
12.08.2011, 19:16
общий
Адресаты:
Здравствуйте,Андрей Владимирович! Ведь вероятность равна нулю только у невозможных событий,а в этом случае точки существуют.Поэтому вероятность равна нулю быть не может.
давно
Тимофеев Алексей Валентинович
Профессионал
304951
93
12.08.2011, 21:30
общий
Адресаты:
Андрей Владимирович и Юрий Леонидович! Огромное вам спасибо за решение.Я согласен,что вероятность в третьем случае целесообразно принять за 0, так как на практике попасть точно на линию невозможно.
давно
Гордиенко Андрей Владимирович
Мастер-Эксперт
17387
18345
13.08.2011, 08:05
общий
13.08.2011, 08:05
Адресаты:
Здравствуйте, Алексей Валентинович!

Вы пишете:
Цитата: Тимофеев Алексей Валентинович
Я согласен,что вероятность в третьем случае целесообразно принять за 0, так как на практике попасть точно на линию невозможно.

Это не так. В случае классического определения вероятность невозможного события равна нулю; при этом справедливо и обратное утверждение (если вероятность события равна нулю, то событие невозможно). В случае геометрического определения вероятности обратное утверждение неверно. Например, вероятность попадания брошенной точки в одну определённую точку области G равна нулю, однако это событие может произойти, и, следовательно, не является невозможным.

Если Вы хотите разобраться с описанным кажущимся парадоксом, рекомендую Вам обратиться к учебнику по теории вероятностей для математических факультетов. Но по-моему, проще принять это как постулат.

С уважением.
Об авторе:
Facta loquuntur.
Форма ответа