Здравствуйте, Посетитель - 371382!
Решение задачи 1:
1) F(x,y,y')=y'²-y²
2) Уравнение Эйлера: F_y-d/dx(F_y')
F_y=-2y; F_y'=2y'; d/dx(F_y')=2y''
-2y-2y''=0
y''+y=0 (линейное уравнение с постоянными коэффициентами)
Характеристическое уравнение: [$955$]²+1=0; [$955$]=[$177$]i
Общее решение: y=Asin x+Bcos x
3) y(0)=B=1
y(Pi)=-B=-1
A - любое, B=1
y=Asin x+cos x - уравнение допустимой экстремали
4) Наверно достаточно построить график при A=0, это график y=cos x. Думаю, что Вы построете его сами.
5) Прямая, проходящая через точки (0;1) и (Pi;-1):
(x-0)/(Pi-0)=(y-1)/(-1-1)
y=1-(2/Pi)x
6) Функционал на прямой:
J(y)=[$8747$]₀^Pi[(4/Pi²)-(1-(2/Pi)x)²]dx=
=[$8747$]₀^Pi[(4/Pi²)-1+(4/Pi)x-(4/Pi²)x²]dx=
=[((4/Pi²)-1)x+(2/Pi)x²-(4/3Pi²)x³]₀^Pi=
=(12-Pi²)/(3Pi)>0
7) Функционал на экстремали:
J(y)=[$8747$]₀^Pi[(A²cos²x-2Asin x cos x+ sin²x)-
-(A²sin²x+2Asin x cos x+ cos²x)]dx=
=[$8747$]₀^Pi[(A²-1)cos2x-2Asin2x]dx=[(1/2)(1-A²)sin2x+Acos2x]₀^Pi=0
8) Значение на экстремали меньше, чем на линейной функции ---> функционал имеет минимум.