Главная Вход в систему Регистрация
Задать вопрос Консультации Пользователи Форум
О системе Помощь
Задать вопрос экспертам
Консультация № 182782
08.04.2011, 21:46
44.27 руб.
0 4 1
Образование
Здравствуйте, уважаемые эксперты! Прошу вас ответить на следующий вопрос: Функция f(x) непрерывна и положительна и f(x+1)=f(x) при всех действительных х. a) Докажите, что интеграл от 0 до 1 f(x+0.5)/f(x)dx>=1; б) Найдите все значения а такие, что интеграл от 0 до 1 f(x+a)/f(x)dx>=1.Заранее благодарен.

Обсуждение

давно
Асмик Гаряка
Профессор
230118
3054
08.04.2011, 22:14
общий
это ответ
Здравствуйте, Тимофеев Алексей Валентинович!

Известно, что интеграл можно найти как предел суммы значений функции на малых отрезках, умноженный на длину отрезков. устремляя к 0 длину этих отрезков.
То есть [$8721$]f(xi)h
где xi=0, h, 2h, nh=1
n будем считать четным.
Рассмотрим столбики, отстоящие друг от друга на 0.5, сгруппируем попарно.
h(f(x+0.5)/f(x)+f(x+1)/f(x+0.5))=h(f(x+0.5)/f(x)+f(x)/f(x+0.5))=h(a+1/a)[$8805$]2h
Таких сумм n=1/2h
Таким образом, [$8721$]f(xi)h[$8805$]1
б) при а=0 и 1 имеет интерграл, равный 1.
При а=0.5[$8805$]1
Если рассматривать его как функцию от a, то это непрерывная функция, можно даже ее дифференцировать.
Пока у меня нет строгого доказательства, но похоже, что для промежуточных чисел это тоже должно соблюдаться.
3
давно
Асмик Гаряка
Профессор
230118
3054
09.04.2011, 01:23
общий
Например
f(1/3+x)/f(x)+f(2/3+x)/f(x+1/3)+f(x+1)/f(x+2/3)=f(1/3+x)/f(x)+f(2/3+x)/f(x+1/3)+f(x)/f(x+2/3)=a/b+c/a+b/c>=3
давно
Тимофеев Алексей Валентинович
Профессионал
304951
93
09.04.2011, 19:55
общий
Адресаты:
Здравствуйте,Асмик Александровна!Я не понял запись: xi=0,h,2h,nh=1
Неизвестный
13.04.2011, 15:43
общий
Адресаты:
Здравствуйте!
Полного решения нет, но привожу решение пункта а) и некоторые соображения по пункту б). Может быть это в чем-то поможет. На полное решение сейчас недостаточно времени.
Файл находится здесь.
С уважением
Форма ответа