Здравствуйте, Тимофеев Алексей Валентинович!



Пусть, для определенности, окружность с центром О₁ имеет радиус r₁,
а окружность с центром О₂ имеет радиус r₂, при этом r₁ > r₂.
Проведем общую внешнюю касательную AD и общую внутреннюю касательную BK, при этом AD [$8869$] BK
Проведем дополнительно вторую общую внешнюю касательную KD и вторую общую внутреннюю касательную XY,
при этом, по свойству общих касательных, точки пересечения общих касательных M и D лежат на прямой,
соединяющей центры окружностей O₁ и O₂. Кроме того, [$8736$]XYK = [$8736$]ABK = 90[$186$]
Требуется найти площади S_BDK и S_XBM

Найдем |BD| = |BC| + |CD| = r₂ + |CD|
Т.к. AD [$8869$] KB и KB - касательная, то |AC| = |AB| + |BC| = |O₁E| + |O₂F| = r₁ + r₂
[$8895$]ADO₁ и [$8895$]СDO₂ подобны, значит
|CD|/|AD| = |CO₂|/|AO₁| или
|CD|/(r₁+r₂+|CD|) = r₂/r₁, откуда
|CD| = (r₁r₂+r₂²)/(r₁- r₂)
А тогда |BD| = (r₁r₂+r₂²)/(r₁- r₂) + r₂ = 2r₁r₂/(r₁- r₂)

Найдем |BM| из подобия [$8895$]BDM и [$8895$]CDO₂:
|BM|/|CO₂| = |BD|/|CD|
|BM|/r₂ = [2r₁r₂/(r₁- r₂)][(r₁- r₂)/(r₁r₂+r₂²)]
Откуда, |BM| = 2r₁r₂/(r₁+ r₂)

Найдем S_BDM = (1/2)|BM||BD| = 2r₁²r₂²/(r₁²- r₂²)

Легко показать, что [$8895$]XBM = [$8895$]KYM, [$8895$]BDM = [$8895$]MDY, [$8895$]BDK и [$8895$]XBM подобны по двум углам, а значит:
S_BDK/S_XBM = (2S_BDM + S_KYM)/S_XBM = (2S_BDM + S_XBM)/S_XBM = (|BD|/|BM|)² = (r₁+ r₂)²/(r₁- r₂)²
(4r₁²r₂²/(r₁²- r₂²) + S_XBM) / S_XBM = (r₁+ r₂)²/(r₁- r₂)²
Откуда S_XBM = r₁r₂(r₁- r₂)²/(r₁²- r₂²)
Ну и, наконец, S_BDK = S_XBM (r₁+ r₂)²/(r₁- r₂)² = r₁r₂(r₁+ r₂)²/(r₁²- r₂²)