Здравствуйте, Ulitka71!
Общее решение неоднородного линейного уравнения равно сумме общего решения y[sub]0[/sub] однородного уравнения y''-5y'+6y=0 и частного решения y[sub]n[/sub] данного неоднородного уравнения. Для нахождения y[sub]0[/sub] найдем корни характеристического уравнения
r[sup]2[/sup]-5r+6=0; они равны 2 и 3. Тогда y[sub]0[/sub]=C[sub]1[/sub]e[sup]2x[/sup]+C[sub]2[/sub]e[sup]3x[/sup].
Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде: y[sub]n[/sub]=(Ax+B)e[sup]-x[/sup]. Находя первую и вторую производные, получим:
y'[sub]n[/sub]=(A-Ax-B)e[sup]-x[/sup], y''[sub]n[/sub]=(-2A+Ax+B)e[sup]-x[/sup]. Подставляя их у уравнение, получим, после сокращения на экспоненту: 12Ax-7A+12B=12x-7, откуда находим: A=1, B=0. Значит, y[sub]n[/sub]=xe[sup]-x[/sup]. Теперь общее решение запишется в виде: y=C[sub]1[/sub]e[sup]2x[/sup]+C[sub]2[/sub]e[sup]3x[/sup]+xe[sup]-x[/sup].
Используя первое условие, получим: C[sub]1[/sub]+C[sub]2[/sub]=0. Дифференцируя общее решение, получим:
y=2C[sub]1[/sub]e[sup]2x[/sup]+3C[sub]2[/sub]e[sup]3x[/sup]+(1-x)e[sup]-x[/sup], откуда после использования второго начального условия, получим: 2C[sub]1[/sub]+3C[sub]2[/sub]=-1. Умножая первое соотношение для постоянных на (-2) и складывая с только что полученным, получим C[sub]2[/sub]=-1. Из любого уравнения для постоянных можно получить C[sub]1[/sub]=1.
Теперь частное решение будет иметь вид:
y=e[sup]2x[/sup]-e[sup]3x[/sup]+xe[sup]-x[/sup].