Здравствуйте, Magma.

В общем , простенький случай . Надеюсь что в последнем интеграле имеется в виду 2 пи
( приблизительно 6,28 ) . А ещё надеюсь что правильно понял условие .

Первый интеграл решаем по частям . Пусть [ sqrt((u^2)+1)=a ; du=db ] =>
=> [ b=u ; da=udu/sqrt((u^2)+1) ] => ?adb=ab-?bda =>
=> ?sqrt((u^2)+1)du=u*sqrt((u^2)+1)-?(u^2)du/sqrt((u^2)+1)=
=u*sqrt((u^2)+1)-?u*sqrt((u^2)+1)du+?du/sqrt((u^2)+1)=?sqrt((u^2)+1)du =>
=> 2*?sqrt((u^2)+1)du=u*sqrt((u^2)+1)+ln|u+sqrt(1+(u^2))| =>
?sqrt((u^2)+1)du=(u/2)+(1/2)*ln|u+sqrt(1+(u^2))|
Подставим в решение пределы интегрирования .
?sqrt((u^2)+1)du=(a/2)+(1/2)*ln|a+sqrt(1+(a^2))|-0-(1/2)*ln|0+sqrt(1+0)|=
=(a/2)+(1/2)*ln|a+sqrt(1+(a^2))|-(1/2)*ln1=(a/2)+(1/2)*ln|a+sqrt(1+(a^2))| .
Надеюсь , Вы в курсе что ln1=0 .

Решим ещё второй интеграл . Благо , он совсем элементарный .
?vdv=(v^2)/2 = {подставляем пределы интегрирования} =
= (4*((Pi)^2)/2)-0=2*((Pi)^2) .

Всё , осталось только совместить решения обеих интегралов .

?_(0;a)sqrt((u^2)+1)du?_(0;2Pi)vdv=2*((Pi)^2)*(1/2)*(a+ln|a+sqrt(1+(a^2))|)=
=((Pi)^2)*(a+ln|a+sqrt(1+(a^2))|) .

OTBET : ?_(0;a)sqrt((u^2)+1)du?_(0;2Pi)vdv=((Pi)^2)*(a+ln|a+sqrt(1+(a^2))|) .