давно
Мастер-Эксперт
17387
18345
27.02.2010, 21:41
общий
это ответ
Здравствуйте, Alik4546.
Решим сначала задачу разложения функции S(t) в ряд Фурье. Имеем на отрезке [0; T/2]
S(t) = -E + (E – (-E))/(T/2 – 0) ∙ t = -E + 4E/T ∙ t.
Доопределим эту функцию на отрезке [-T/2; 0] четным образом и воспользуемся известной из курса высшей математики формулой разложения четной функции в ряд Фурье. Этот ряд содержит только свободный член и косинусы, т. е.
S(t) = a0/2 + Σm = 1∞ amcos (mπt/(T/2)) = a0/2 + Σm = 1∞ amcos (2mπt/T). (1)
Находим далее
a0 = 0∫T/2 (-E + 4E/T ∙ t)dt = (-Et + 4E/T ∙ t2/2)|0T/2 = -ET/2 + 4E/T ∙ T2/8 = -ET/2 + ET/2 = 0 (как и должно быть, поскольку среднее значение функции S(t) за период, равный T, равно нулю);
am = 1/(T/2) ∙ 0∫T/2 (-E + 4E/T ∙ t) ∙ cos (mπt/(T/2)) ∙ dt = 2/T ∙ 0∫T/2 (-E + 4E/T ∙ t) ∙ cos (2mπt/T) ∙ dt =
= -2E/T ∙ 0∫T/2 cos (2mπt/T) ∙ dt + 8E/T2 ∙ 0∫T/2 t ∙ cos (2mπt/T) ∙ dt =
= -2E/T ∙ T/(2mπ) ∙ sin (2mπt/T) |0T/2 + 8E/T2 ∙ [((t ∙ sin (2mπt/T))/(2mπ/T))|0T/2 – 1/(2mπ/T) ∙ 0∫T/2 sin (mπt/(T/2)) ∙ dt] =
= 0 + 8E/T2 ∙ [0 + T2/(4m2π2) ∙ cos (2mπt/T)]|0T/2 = 8E/T2 ∙ T2/(4m2π2) ∙ (cos mπ – cos 0) =
= 2E/(m2π2) ∙ ((-1)m – 1). (2)
Из выражений (1) и (2) следуют искомые законы:
1) закон изменения амплитуд гармоник
Am = |am| = 2E/(m2π2) ∙ (1 – (-1)m); (3)
2) закон изменения фаз гармоник
φm = 2mπt/T. (4)
Амплитудный спектр сигнала представляет совокупность амплитуд всех гармоник. Из выражения (3) получаем, что амплитуды всех четных гармоник равны нулю, а амплитуды нечетных определяются выражением
Am = 4Е/(m2π2),
то есть A1 = 4Е/π2, A2 = 0, A3 = 4Е/(9π2), A4 = 0, A5 = 4Е/(25π2), A6 = 0, … .
С уважением.
Об авторе:
Facta loquuntur.