Главная Вход в систему Регистрация
Задать вопрос Консультации Пользователи Форум
О системе Помощь
Задать вопрос экспертам
Консультация № 173505
21.10.2009, 12:31
0.00 руб.
0 4 1
Образование
Просьба помочь разобраться с выполнением заданий такого типа:
найти наименьшее значение выражения x+([$8730$]3)y в области x2+y2[$8804$]1
найти наибольшее значение выражения x+y в области x2+y2[$8804$]2x-4y-1

Обсуждение

Неизвестный
22.10.2009, 10:03
общий
В обоих случаях выражение, экстремум которого мы ищем - линейное. Если рассмотреть параметрическое семейство прямых ax+by=c, где c - параметр, то легко видеть, что эктремальные значения c достигаются когда прямая ax+by=c касается нашей области. Т.о. нам нужно найти точки на границе областей, где производная равна -a/b и выбрать минимальное и максимальное значения.
1. Граница x2+y2=1 - окружность радиуса 1 с центром в начале координат. Берём производную этого выражения 2x+2y y' = 0. Производная y'=-x/y, как мы указали ранее должна равняться -1/sqrt(3), откуда y=sqrt(3)x. Подставляем в уравнение для области и получаем (1/2,sqrt(3)/2) и (-1/2,-sqrt(3)/2). Минимум x+Sqrt(3)y будет при отрицательных значениях, т.е. в (-1/2,-sqrt(3)/2) и равен -2.
2. Аналогично. Граница x2+y2=2x-4y-1. Берём прооизводную: 2x+2y y' = 2 - 4y' => y' = (1-x)/(2+y). Мы ищем где производная равна -1. 1-x=y+2=>y=-x-1. Подставляем в x2+y2=2x-4y-1 и находим (1+sqrt(2), -2+sqrt(2)) и (1-sqrt(2), -2-sqrt(2)). Максимум будет в первой точке и равен 2sqrt(2)-1
Неизвестный
23.10.2009, 13:34
общий
Воробьёв Алексей Викторович:
Все понятно, только и ответы правильные. Только во втором примере должно быть x-1=y+2 (если умножение на -1).
Неизвестный
23.10.2009, 20:19
общий
Правильно, я сначала сделал ошибку и у меня было y-2, потом исправил на y+2, но забыл поменять знак в этом выражении. Ответ я, честно говоря, искал графически, так как Вам и описал: рисуете (можно и в воображении) область (окружности в Вашем случае) и ищете, где касается.
давно
Гордиенко Андрей Владимирович
Мастер-Эксперт
17387
18345
25.10.2009, 17:27
общий
это ответ
Здравствуйте, Litta.

1. Замкнутая область D представляет собой круг единичного радиуса, включая его границу. Исследуем функцию z = x + y√3 на локальный экстремум внутри D: ∂z/∂x = 1 ≠ 0, ∂z/∂y = √3 ≠ 0, следовательно, стационарных точек внутри области D нет, и функция не имеет экстремумов.

Исследуем функцию на границе области D – окружности единичного радиуса в центре с началом координат. Составим функцию Лагранжа F(x; y; λ) = x + y√3 + λ(x2 + y2 – 1). Ищем стационарные точки этой функции:
∂F/∂x = 2λx + 1 = 0,
∂F/∂y = 2λy + √3 = 0,
∂F/∂λ = x2 + y2 – 1 = 0.
Решая полученную систему уравнений, находим, что стационарными являются точки M1(1/√3; -√(2/3)), M2(1/√3; √(2/3)), M3(-1/√3; -√(2/3)), M4(-1/√3; √(2/3)). Очевидно, что минимальное значение заданная функция принимает в точке M3: zmin = -1/√3 – √2 ≈ -1,992.

Ответ: -1/√3 – √2 ≈ -1,992.

2. Не вдаваясь в анализ того, что представляет собой замкнутая область D, исследуем функцию z = x + y на локальный экстремум внутри D:
∂z/∂x = 1 ≠ 0, ∂z/∂y = 1 ≠ 0, следовательно, стационарных точек внутри области D нет, и функция не имеет экстремумов.

Исследуем функцию на границе области D. Составим функцию Лагранжа F(x; y; λ) = x + y + λ(x2 + y2 – 2x + 4y + 1). Ищем стационарные точки этой функции:
∂F/∂x = 2λx + 1 = 0, (1)
∂F/∂y = 2λy + 5 = 0, (2)
∂F/∂λ = x2 + y2 – 2x + 4y + 1 = 0. (3)

Из уравнений (1) и (2) находим: λ = -1/(2x), λ = -5/(2y),
-1/(2x) = -5/(2y),
1/x = 5/y,
x = y/5
и подставляя в уравнение (3), получаем
y2/25 + y2 – 2y/5 + 4y + 1 = 0,
26y2/25 + 18y/5 + 1 = 0,
D = (18/5)2 – 4 ∙ 26/25 ∙ 1 = 12,96 – 4,16 = 8,8 = 44/5, √D = √(44/5),
y1 = (-18/5 – √(44/5))/(52/25) ≈ -3,157, x1 = y1/5 = (-18/5 – √(44/5))/(260/25) ≈ -0,631,
y2 = (-18/5 + √(44/5))/(52/25) ≈ -0,305, x2 = y2/5 = (-18/5 + √(44/5))/(260/25) ≈ -0,061.

Cтационарными являются точки M1(-3,157; -0,631), M2(-0,305; -0,061). Очевидно, что максимальное значение заданная функция принимает в точке M2: zmax = -0,305 – (-0,061) ≈ -0,24.

Ответ: -0,24.

Вроде бы так...

С уважением.
Об авторе:
Facta loquuntur.
Форма ответа