Здравствуйте, Иванов Андрей Владимирович.

1. Обозначим точки деления отрезка AB как A_i, i = 1..n. Также для единообразия обозначим точку A как A₀, а точку B как A_n+1. Т.о. на отрезке AB мы имеем n+2 точки, включая граничные, с индексами 0..n+2.
Также обозначим вершины полученных треугольников как C_i, i = 0..n.
В результате разделения отрезка с помощью n точек получаем n+1 треугольник с вершинами A_iC_iA_i+1, i = 0..n.
Заметим, что A_iC_i = C_iA_i+1, т.к. равны углы при основании этого треугольника.
Длина отрезка A_iA_i+1 равна [$945$]/(n+1). Длина боковой стороны треугольника равна [$945$]/(2*(n+1)*Cos([$8719$]/2n)).
Т.о. длина зубца ломанной составляет 2*[$945$]/(2*(n+1)*Cos([$8719$]/2n) = [$945$]/((n+1)*Cos([$8719$]/2n)). Всего зубцов при n точках - n+1, т.е. длина ломаной равна (n+1)*[$945$]/((n+1)*Cos([$8719$]/2n)) = [$945$]/Cos([$8719$]/2n).
При n[$8594$][$8734$] выражение [$8719$]/2n стремится к 0, т.е. косинус стремится к 1, т.е. все выражение стремится к длине отрезка.

2. Обозначим точки деления отрезка также, как в п.1.
Длина отрезка A_iA_i+1 равна [$945$]/(n+1). Этот отрезок является диаметром дугового элемента ломаной.
Как известно, длина полуокружности равна [$8719$]*D/2, где D - диаметр. Т.о. длина элемента ломаной равна [$8719$]*[$945$]/(2*(n+1)).
Всего полуокружностей - n+1. Т.е. длина ломаной равна (n+1)*[$8719$]*[$945$]/(2*(n+1)) = [$8719$]*[$945$]/2. Как видно, длина не зависит от количества точек разбиения, т.е. является константой.

Если вместо полуокружности строить дугу, получаем следующее. Длина дуги l равна R*[$966$], где R - радиус окружности, а [$966$] - угол между радиусами, проведенными к концам дуги. Данный угол задан: [$8719$]/n радиан. Радиус окружности можно определить, рассмотрев прямоугольный треугольник OCA_i, где O - центр окружности, а C - основание перпендикуляра, опущенного из точки O на отрезок A_iA_i+1.
R = A_iA_i+1/(2*Sin([$966$]/2)) = [$945$]/(2*(n+1)*Sin([$8719$]/(2n))).
Тогда l равна [$945$]/(2*(n+1)*Sin([$8719$]/(2n)))*[$8719$]/n = [$945$]*[$8719$]/(2*n*(n+1)*Sin([$8719$]/(2n))). Длина ломаной L равна (n+1)*l = [$945$]*[$8719$]/(2*n*Sin([$8719$]/(2n))) = [$945$]/((2n/[$8719$])*Sin([$8719$]/(2n))).
Т.к. предел выражения x*Sin(1/x) при x[$8594$][$8734$] равен 1, то предел длины ломаной равен длине отрезка AB, т.е. [$945$].

Здравствуйте, Иванов Андрей Владимирович.

Задача 1

Рассмотрим одну часть разбиения. Это отрезок EF длиной (a/n), этот отрезок взят в качестве основания равнобедренного треугольника, с углом при основании равным (п/(2n)). Необходимо вычислить сумму длин боковых сторон этого треугольника.

Здесь EF = (a/n), [$8736$] E = [$8736$] F = (п/(2n)). Опускаем из вершины С высоту на основание EF, это высота CD, она также является медианой (и биссектрисой), так как треугольник EFC равнобедренный и EF - основание. Тогда ED = EF/2 = (a/(2n)). Из треугольника EDC легко находится EC, так как треугольник EDC прямоугольный:

EC = ED/cos([$8736$]E) = (a/(2n)) / cos(п/(2n)) = a / [2n*cos(п/(2n))]

Тогда, так как треугольник EFС равнобедренный, то:

EС + FС = 2*EС = a / [n*cos(п/(2n))]

Значит длина ломаной, при разбиении отрезка АВ на n равных частей, равна:

L_n = (EC + FC)*n = 2*EC*n = a / [cos(п/(2n))]

При n -> [$8734$] длина ломаной стремится к L, и L равно:

L = lim{n -> [$8734$]} L_n = lim{n -> [$8734$]} {a / [cos(п/(2n))]} = / при n -> [$8734$] (п/(2n)) -> 0 и cos(п/(2n)) -> cos(0) = 1 / = a

Ответ: L = a

P.S. Очевидно, если бы угол был равен [$946$], то предел длины бы равнялся (a/cos([$946$]))


Задача 2

Рассмотрим одну часть разбиения. Это отрезок EF длиной (a/n) и дуга EF, дуга EF является дугой окружности с центром в точке С радиуса R, и угол [$8736$]ECF равен [$946$] = (п/n). Длина дуги равна:

s = [$8736$]ECF*R = R*[$946$] = R*(п/n)

Требуется вычислить радиус окружности.

Опускаем из точки С высоту на сторону EF. Треугольник EFC - равнобедренный, так как FC = EC = R. Значит высота CD одновременно является и биссектрисой угла [$8736$]ECF и медианой. Значит ED = EF/2 = (a/(2n)) и [$8736$]DCE = (1/2)*[$8736$]ECF = ([$946$]/2) = (п/(2n)). Треугольник EDC прямоугольный, значит:

R = EC = ED/sin([$8736$]DCE) = (a/(2n)) / sin([$946$]/2) = a / [2n*sin([$946$]/2)] = a / [2n*sin(п/(2n))]

Тогда длина дуги равна:

s = R*[$946$] = [a*[$946$]] / [2n*sin([$946$]/2)] = [a*п] / [2n²*sin(п/(2n))]

Значит длина кривой, при разбиении отрезка АВ на n равных частей, равна:

L_n = s*n = [a*[$946$]] / [2*sin([$946$]/2)] = [a*п] / [2n*sin(п/(2n))]

При n -> [$8734$] длина кривой стремится к L, и L равно:

L = lim{n -> [$8734$]} L_n = lim{n -> [$8734$]} {[a*[$946$]] / [2*sin([$946$]/2)]} = lim{n -> [$8734$]} {[a*п] / [2n*sin(п/(2n))]} =

= a * lim{n -> [$8734$]} {п / [2n*sin(п/(2n))]} = / пусть t = (п/(2n)), при n -> [$8734$] (п/(2n)) -> 0 и t -> 0 / =

= a * lim{t -> 0} {t / sin(t)} = a * 1 = a

Очевидно, если будет строится полуокружность, то [$946$] = п, тогда предел длины:

L = lim{n -> [$8734$]} L_n = lim{n -> [$8734$]} {[a*[$946$]] / [2*sin([$946$]/2)]} = lim{n -> [$8734$]} {[a*п] / [2*sin(п/2)]} = [a*п] / [2*1] = (a*п)/2

Ответ: для угла (п/n) предел длины кривой равен L = a, для полуокружности (то есть для угла п) предел длины кривой равен (a*п)/2